Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng d tương ứng có phương trình $2x-y+3z-3=0$ và $\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại điểm M. Gọi N là điểm thuộc d sao cho $MN=3$, gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm N trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Tính độ dài đoạn MK.
A. $MK=\dfrac{7}{\sqrt{105}}$
B. $MK=\dfrac{7}{4\sqrt{21}}$
C. $MK=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}$
D. $MK=\dfrac{\sqrt{105}}{7}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;3 \right) \\
& {{\overrightarrow{u}}_{_{d}}}=\left( -2;1;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \sin \widehat{\left( \left( d \right);\left( P \right) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{4}{\sqrt{21}}\Rightarrow \cos \left( \widehat{\left( d \right);\left( P \right)} \right)=\sqrt{\dfrac{5}{21}}$
Tam giác MNK vuông tại K, có $\cos \widehat{NMK}=\dfrac{MK}{MN}$
$\Rightarrow MK=MN.\cos \widehat{\left( \left( d \right);\left( P \right) \right)}=3\sqrt{\dfrac{5}{21}}=\dfrac{\sqrt{105}}{7}$.
A. $MK=\dfrac{7}{\sqrt{105}}$
B. $MK=\dfrac{7}{4\sqrt{21}}$
C. $MK=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}$
D. $MK=\dfrac{\sqrt{105}}{7}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;3 \right) \\
& {{\overrightarrow{u}}_{_{d}}}=\left( -2;1;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \sin \widehat{\left( \left( d \right);\left( P \right) \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{4}{\sqrt{21}}\Rightarrow \cos \left( \widehat{\left( d \right);\left( P \right)} \right)=\sqrt{\dfrac{5}{21}}$
Tam giác MNK vuông tại K, có $\cos \widehat{NMK}=\dfrac{MK}{MN}$
$\Rightarrow MK=MN.\cos \widehat{\left( \left( d \right);\left( P \right) \right)}=3\sqrt{\dfrac{5}{21}}=\dfrac{\sqrt{105}}{7}$.
Đáp án D.