Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0

luôn chứa đường thẳng

Δ

cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến

Δ

là
A.

\frac{1}{\sqrt{3}} .

B.

\frac{2}{\sqrt{3}} .

C.

\frac{\sqrt{2}}{3} .

D.

\frac{2}{3} .

Ta có:

2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0 \forall m \in R

\Leftrightarrow m^{2} (2 x + y + 1) + m (2 x + z + 1) + 4 x - y + 2 z + 1 = 0 \forall m \in R

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + z + 1 = 0 \\ 4 x - y + 2 z + 1 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + z + 1 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} y = z \\ 2 x + y + 1 = 0 \end{aligned}

Vậy (P) luôn chứa đường thẳng

(Δ)

cố định

{\begin{aligned} x = - \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \\ y = t \\ z = t \end{aligned}, t \in R

Đường thẳng

Δ

đi qua

A (- \frac{1}{2}; 0; 0)

và có vectơ

\vec{u_{Δ}} = (- \frac{1}{2}; 1; 1)

Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến

Δ

là:

d (O; Δ) = \frac{| [\vec{O A}, \vec{u_{Δ}}] |}{| \vec{u_{Δ}} |} = \frac{\sqrt{2}}{3} .

Đáp án C.