Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
$\left( P \right):2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0$ luôn chứa đường thẳng $\Delta $ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến $\Delta $ là
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
$\left( P \right):2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0$ luôn chứa đường thẳng $\Delta $ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến $\Delta $ là
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Ta có: $2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0 \forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 2x+y+1 \right)+m\left( 2x+z+1 \right)+4x-y+2z+1=0 \forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y+1=0 \\
& 2x+z+1=0 \\
& 4x-y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y+1=0 \\
& 2x+z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=z \\
& 2x+y+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy (P) luôn chứa đường thẳng $\left( \Delta \right)$ cố định $\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2} \\
& y=t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.,t\in \mathbb{R}$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$ và có vectơ $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -\dfrac{1}{2};1;1 \right)$
Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến $\Delta $ là: $d\left( O;\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 2x+y+1 \right)+m\left( 2x+z+1 \right)+4x-y+2z+1=0 \forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y+1=0 \\
& 2x+z+1=0 \\
& 4x-y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y+1=0 \\
& 2x+z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=z \\
& 2x+y+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy (P) luôn chứa đường thẳng $\left( \Delta \right)$ cố định $\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2} \\
& y=t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.,t\in \mathbb{R}$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( -\dfrac{1}{2};0;0 \right)$ và có vectơ $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -\dfrac{1}{2};1;1 \right)$
Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến $\Delta $ là: $d\left( O;\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án C.