Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ : $2x+y-2z+m=0$ và mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+zh-2x+4y-6z-2=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( T \right)$ có chu vi bằng $4\pi \sqrt{3}$ ?
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=4$
Gọi H là hình chiếu của I lên $\left( P \right)$
Khi đó $IH=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-2-2.3+m \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| m-6 \right|}{3}$
Đường tròn $\left( T \right)$ có chu vi là $4\pi \sqrt{3}$ nên có bán kính là $r=\dfrac{4\pi \sqrt{3}}{2\pi }=2\sqrt{3}$.
$\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( T \right)$ có chu vi bằng $4\pi \sqrt{3}\Leftrightarrow IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| m-6 \right|}{3}=\sqrt{16-12}\Leftrightarrow \left| m-6 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-6=6 \\
& m-6=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=12 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Gọi H là hình chiếu của I lên $\left( P \right)$
Khi đó $IH=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-2-2.3+m \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| m-6 \right|}{3}$
Đường tròn $\left( T \right)$ có chu vi là $4\pi \sqrt{3}$ nên có bán kính là $r=\dfrac{4\pi \sqrt{3}}{2\pi }=2\sqrt{3}$.
$\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( T \right)$ có chu vi bằng $4\pi \sqrt{3}\Leftrightarrow IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| m-6 \right|}{3}=\sqrt{16-12}\Leftrightarrow \left| m-6 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-6=6 \\
& m-6=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=12 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Đáp án C.