Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25

cắt mặt phẳng

(α) : x + 2 y - 2 z - 9 = 0

theo giao tuyến là một đường tròn (T) có đường kính CD. Biết A là một điểm di động thuộc mặt cầu (S) sao cho hình chiếu vuông góc của A trên

(α)

là điểm B thuộc đường tròn (T) (khác C, D). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD là
A. 32
B. 96
C. 16
D. 64

Mặt cầu (S) có tâm

O (0; 0; 0)

và bán kính R = 5.
Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó:

O I = d (O, (α)) = \frac{9}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 3

\Rightarrow C D = 2 C I = 2 \sqrt{R^{2} - O I^{2}} = 2 \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 8

.
Gọi BH là đường kính của (T), khi đó:

A B = 2 O I = 6

.
Ta có:

V_{A B C D} = \frac{1}{3} . A B . S_{B C D} = \frac{1}{3} A B . \frac{1}{2} B K . C D=8BK

Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.
Ta có:

B K \leq B I = \frac{C D}{2} = 4

. Dấu "=" xảy ra khi

K \equiv I

hay

B I ⊥ C D

.
Suy ra:

V_{A B C D} = 8 B K \leq 8.4 = 32 \Rightarrow {(V_{A B C D})}_{max} = 32

.

Đáp án A.