Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ cắt mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2\text{z}-9=0$ theo giao tuyến là một đường tròn (T) có đường kính CD. Biết A là một điểm di động thuộc mặt cầu (S) sao cho hình chiếu vuông góc của A trên $(\alpha )$ là điểm B thuộc đường tròn (T) (khác C, D). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD là
A. 32
B. 96
C. 16
D. 64
Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính R = 5.
Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó: $OI=d\left( O,(\alpha ) \right)=\dfrac{9}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$
$\Rightarrow C\text{D}=2CI=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$.
Gọi BH là đường kính của (T), khi đó: $AB=2\text{O}I=6$.
Ta có: ${{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.AB.{{S}_{BC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}BK.C\text{D=8BK}$
Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.
Ta có: $BK\le BI=\dfrac{C\text{D}}{2}=4$. Dấu "=" xảy ra khi $K\equiv I$ hay $BI\bot C\text{D}$.
Suy ra: ${{V}_{ABC\text{D}}}=8BK\le 8.4=32\Rightarrow {{({{V}_{ABC\text{D}}})}_{\max }}=32$.
A. 32
B. 96
C. 16
D. 64
Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính R = 5.
Gọi I là tâm đường tròn (T), khi đó: $OI=d\left( O,(\alpha ) \right)=\dfrac{9}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$
$\Rightarrow C\text{D}=2CI=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8$.
Gọi BH là đường kính của (T), khi đó: $AB=2\text{O}I=6$.
Ta có: ${{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}.AB.{{S}_{BC\text{D}}}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}BK.C\text{D=8BK}$
Với K là hình chiếu vuông góc của B trên CD.
Ta có: $BK\le BI=\dfrac{C\text{D}}{2}=4$. Dấu "=" xảy ra khi $K\equiv I$ hay $BI\bot C\text{D}$.
Suy ra: ${{V}_{ABC\text{D}}}=8BK\le 8.4=32\Rightarrow {{({{V}_{ABC\text{D}}})}_{\max }}=32$.
Đáp án A.