Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z=0$ và điểm $M\left( 0;1;0 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt $\left( S \right)$ theo đường tròn $\left( C \right)$ có chu vi nhỏ nhất. Gọi $N({{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}})$ là điểm thuộc đường tròn $\left( C \right)$ sao cho $ON=\sqrt{6}$. Tính ${{y}_{0}}$.
A. $-2$.
B. $2$.
C. $-1$.
D. 3.
A. $-2$.
B. $2$.
C. $-1$.
D. 3.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{6-{{d}^{2}}}$ với $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$
Chu vi $\left( C \right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $r$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d$ lớn nhất
Ta có $d\le IM\Rightarrow {{d}_{\max }}=IM\Leftrightarrow \left( P \right)$ đi qua $M$ và vuông góc $IM$
$\left( P \right)$ đi qua $M\left( 0;1;0 \right)$, và nhận $\overrightarrow{IM}=\left( 1;-1;-1 \right)$ làm VTPT
$\Rightarrow \left( P \right):x-\left( y-1 \right)-z=0\Leftrightarrow x-y-z+1=0$
Ta có tọa độ $N$ thỏa hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z=0 \\
& x-y-z+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x-4y-2z=-6 \\
& x-y-z+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=2 \\
& x=y+z-1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=2$
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{6-{{d}^{2}}}$ với $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$
Chu vi $\left( C \right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $r$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d$ lớn nhất
Ta có $d\le IM\Rightarrow {{d}_{\max }}=IM\Leftrightarrow \left( P \right)$ đi qua $M$ và vuông góc $IM$
$\left( P \right)$ đi qua $M\left( 0;1;0 \right)$, và nhận $\overrightarrow{IM}=\left( 1;-1;-1 \right)$ làm VTPT
$\Rightarrow \left( P \right):x-\left( y-1 \right)-z=0\Leftrightarrow x-y-z+1=0$
Ta có tọa độ $N$ thỏa hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z=0 \\
& x-y-z+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x-4y-2z=-6 \\
& x-y-z+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=2 \\
& x=y+z-1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=2$
Đáp án B.