Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và điểm $M\left( 2; 2; 1 \right)$. Một đường thẳng thay đổi qua $M$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A, B$. Khi biểu thức $T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ có giá trị bằng
A. $4\sqrt{3}.$
B. $4.$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
D. $2\sqrt{3}$.
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 1; 1 \right), bk R=2$.
$IM=1<R$ $\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ và $M$ nằm trên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I, bk {R}'=1$
$T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MB$ nhỏ nhất.
Vây ${{\min }_{T}}=3+4.1=7$ khi và chỉ khi $AB$ là đường kính mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow AB=4$.
Cách 2: Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$ và đặt $IH=x \left( 0\le x\le 1 \right)$.
TH1: $MA<MB$
Ta có $T=MA+4MB=AH-MH+4\left( MH+HB \right)=3MH+5AH$ $=3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+5\sqrt{4-{{x}^{2}}}=f\left( x \right)$
Ta có ${f}'\left( x \right)=x\left( \dfrac{-3}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\dfrac{5}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow x=0$. Suy ra ${{T}_{\min }}=13$ khi $d$ đi qua $I\Rightarrow AB=2R=4$.
TH2: $MA>MB$
Tính được $T=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$.
Tìm được $\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=7\Rightarrow AB=4$.
So sánh cả hai trường hợp thì ta có ${{T}_{\min }}=7$ khi đó $AB=4$.
A. $4\sqrt{3}.$
B. $4.$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}.$
D. $2\sqrt{3}$.
$IM=1<R$ $\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ và $M$ nằm trên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I, bk {R}'=1$
$T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MB$ nhỏ nhất.
Vây ${{\min }_{T}}=3+4.1=7$ khi và chỉ khi $AB$ là đường kính mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow AB=4$.
Cách 2: Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$ và đặt $IH=x \left( 0\le x\le 1 \right)$.
TH1: $MA<MB$
Ta có ${f}'\left( x \right)=x\left( \dfrac{-3}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\dfrac{5}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow x=0$. Suy ra ${{T}_{\min }}=13$ khi $d$ đi qua $I\Rightarrow AB=2R=4$.
TH2: $MA>MB$
Xét hàm số $f\left( x \right)=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$.
Tìm được $\underset{\left[ 0; 1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=7\Rightarrow AB=4$.
So sánh cả hai trường hợp thì ta có ${{T}_{\min }}=7$ khi đó $AB=4$.
Đáp án B.