Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+11=0$. Xét điểm $M$ di động trên $\left( P \right)$, các điểm $A,B,C$ phân biệt di động trên $\left( S \right)$ sao cho $MA,MB,MC$ là các tiếp tuyến của $\left( S \right)$. Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?
A. $E\left( 0;3;-1 \right)$.
B. $F\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-1}{2};\dfrac{-1}{2} \right)$.
C. $G\left( 0;-1;3 \right)$.
D. $H\left( \dfrac{3}{2};0;2 \right)$.
A. $E\left( 0;3;-1 \right)$.
B. $F\left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-1}{2};\dfrac{-1}{2} \right)$.
C. $G\left( 0;-1;3 \right)$.
D. $H\left( \dfrac{3}{2};0;2 \right)$.
Ta có $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$
Gọi $M\left( a;b;c \right)$ do $M\in \left( P \right):x-2y+2z+11=0\Leftrightarrow a-2b+2c+11=0$
$\Rightarrow I{{M}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}$
Do $AM$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ nên $A{{M}^{2}}=I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}-12$.
Khi đó ta có mặt cầu tâm $M$ qua $A,B,C$ có phương trình là:
${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}-12$
Khi đó $\left( ABC \right):\left\{ \begin{matrix}
{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}-12 \\
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12 \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\end{matrix}$
Khai triển $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ ta có được:
$\left( ABC \right):\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0$
Với điểm $E\left( 0;3;-1 \right)$ ta có $3\left( b-1 \right)-\left( c-1 \right)-a-b-c-9=0\Leftrightarrow a-2b+2c+11=0$.
Nên $\left( ABC \right)$ luôn qua điểm $E\left( 0;3;-1 \right)$.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$ do $M\in \left( P \right):x-2y+2z+11=0\Leftrightarrow a-2b+2c+11=0$
$\Rightarrow I{{M}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}$
Do $AM$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ nên $A{{M}^{2}}=I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}-12$.
Khi đó ta có mặt cầu tâm $M$ qua $A,B,C$ có phương trình là:
${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}-12$
Khi đó $\left( ABC \right):\left\{ \begin{matrix}
{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}-12 \\
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12 \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
\left( 1 \right) \\
\left( 2 \right) \\
\end{matrix}$
Khai triển $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ và lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ ta có được:
$\left( ABC \right):\left( a-1 \right)x+\left( b-1 \right)y+\left( c-1 \right)z-a-b-c-9=0$
Với điểm $E\left( 0;3;-1 \right)$ ta có $3\left( b-1 \right)-\left( c-1 \right)-a-b-c-9=0\Leftrightarrow a-2b+2c+11=0$.
Nên $\left( ABC \right)$ luôn qua điểm $E\left( 0;3;-1 \right)$.
Đáp án A.