Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ tâm I và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+24=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M
A. $M\left( -2; 0; 4 \right)$
B. $M\left( 4; 1; 3 \right)$
C. $M\left( 3; 4; 2 \right)$
D. $M\left( 1; 0; 4 \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M
A. $M\left( -2; 0; 4 \right)$
B. $M\left( 4; 1; 3 \right)$
C. $M\left( 3; 4; 2 \right)$
D. $M\left( 1; 0; 4 \right)$
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S), ta có
$\left( S \right):\left\{ \begin{aligned}
& I\left( 1; 2; 3 \right) \\
& R=3 \\
\end{aligned} \right.$
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
$d\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1+2.2-3+24 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=9>3=R$. Nên mặt cầu (S) không có điểm chung với mặt phẳng (P)
Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P). ${{M}_{0}}$ là giao điểm của đường thẳng IH với (S) (I nằm giữa H và ${{M}_{0}}$ )
Khi đó áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: $MH\le MI+IH={{M}_{0}}I+IH={{M}_{0}}H$
Vậy MH có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi $M\equiv {{M}_{0}}\Rightarrow \overrightarrow{IM}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IH}$
Ta tính được $H\left( -5; -4; 6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( -6; -6; -3 \right)\Rightarrow M\left( 3; 4; 2 \right)$
$\left( S \right):\left\{ \begin{aligned}
& I\left( 1; 2; 3 \right) \\
& R=3 \\
\end{aligned} \right.$
$d\left( I, \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1+2.2-3+24 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=9>3=R$. Nên mặt cầu (S) không có điểm chung với mặt phẳng (P)
Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P). ${{M}_{0}}$ là giao điểm của đường thẳng IH với (S) (I nằm giữa H và ${{M}_{0}}$ )
Khi đó áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: $MH\le MI+IH={{M}_{0}}I+IH={{M}_{0}}H$
Vậy MH có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi $M\equiv {{M}_{0}}\Rightarrow \overrightarrow{IM}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IH}$
Ta tính được $H\left( -5; -4; 6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( -6; -6; -3 \right)\Rightarrow M\left( 3; 4; 2 \right)$
Đáp án C.