Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $A$ và $B$. Gọi $H\left( a;b;c \right)$ là trung điểm $AB$. Giá trị $a+b+c$ bằng
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $\dfrac{5}{6}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-1}=1$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình:
$1\left( x-1 \right)+1\left( y-0 \right)-1\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x+y-z-2=0$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $d$, do $K\in d$ $\Rightarrow K\left( t;2+t;-t \right)$ và $K\in \left( P \right)$ $\Rightarrow t+2+t-\left( -t \right)-2$ $\Leftrightarrow t=0$ $\Rightarrow K\left( 0;2;0 \right)$.
Mặt phằng $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo đường tròn lớn $\left( C \right)$, có $A,B\in \left( C \right)$ và $H=IK\cap AB$.
$IK=\sqrt{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
$IH.IK=I{{A}^{2}}=1$ $\Rightarrow \dfrac{IH}{IK}=\dfrac{1}{6}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{IK}$ (vì $\overrightarrow{IH},\overrightarrow{IK}$ cùng hướng).
$\left\{ \begin{matrix}
a-1=\dfrac{1}{6}\left( 0-1 \right) \\
b-0=\dfrac{1}{6}\left( 2-0 \right) \\
c+1=\dfrac{1}{6}\left( 0+1 \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{5}{6} \\
b=\dfrac{1}{3} \\
c=-\dfrac{5}{6} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{3}$.
A. $\dfrac{1}{6}.$
B. $\dfrac{1}{3}.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $\dfrac{5}{6}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-1}=1$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình:
$1\left( x-1 \right)+1\left( y-0 \right)-1\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x+y-z-2=0$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $I$ trên $d$, do $K\in d$ $\Rightarrow K\left( t;2+t;-t \right)$ và $K\in \left( P \right)$ $\Rightarrow t+2+t-\left( -t \right)-2$ $\Leftrightarrow t=0$ $\Rightarrow K\left( 0;2;0 \right)$.
Mặt phằng $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo đường tròn lớn $\left( C \right)$, có $A,B\in \left( C \right)$ và $H=IK\cap AB$.
$IK=\sqrt{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
$IH.IK=I{{A}^{2}}=1$ $\Rightarrow \dfrac{IH}{IK}=\dfrac{1}{6}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{IK}$ (vì $\overrightarrow{IH},\overrightarrow{IK}$ cùng hướng).
$\left\{ \begin{matrix}
a-1=\dfrac{1}{6}\left( 0-1 \right) \\
b-0=\dfrac{1}{6}\left( 2-0 \right) \\
c+1=\dfrac{1}{6}\left( 0+1 \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=\dfrac{5}{6} \\
b=\dfrac{1}{3} \\
c=-\dfrac{5}{6} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{3}$.
Đáp án B.