Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

The Knowledge · 20/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

và hai điểm

M (4; - 4; 2), N (6; 0; 6)

. gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho

E M + E N

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.
A.

x - 2 y + 2 z + 8 = 0

B.

2 x + y - 2 z - 9 = 0

C.

2 x + 2 y + z + 1 = 0

D.

2 x - 2 y + z + 9 = 0

Mặt cầu (S) có tâm

I (1; 2; 2)

bán kính

R = 3

dễ thấy

M I = N I = 3 \sqrt{5}

Gọi

K (5; - 2; 4)

là trung điểm MN thì

E K^{2} = \frac{E M^{2} + E N^{2}}{2} - \frac{M N^{2}}{4}

(công thức trung tuyến)
Mặt khác

2 (E M^{2} + E N^{2}) \geq {(E M + E N)}^{2} \Rightarrow E K^{2} \geq \frac{{(E M + E N)}^{2}}{4} - \frac{M N^{^{2}}}{4} = \frac{{(E M + E N)}^{2} - 6}{4}

Lại có :

E K \leq R + K I = 3 + 6 = 9 \Rightarrow 9 \geq \frac{{(E M + E N)}^{2} - 6}{4} \Rightarrow E M + E N \leq \sqrt{42}

Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} E M = E N \\ E = (S) \cap K I, E K_{max} = 9 \end{aligned}

ta có :

K I : {\begin{aligned} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 2 + t \end{aligned} \Rightarrow E (1 + 2 t; 2 - 2 t; 2 + t) \in (S) \Rightarrow 9 t^{2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1

Khi đó

E K_{max} = 9 \Leftrightarrow E (- 1; 4; 1) \Rightarrow

phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E qua E và vuông góc với KI có phương trình

2 x - 2 y + z + 0 = 0

.

Đáp án D.