Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và hai điểm $M\left( 4;-4;2 \right),N\left( 6;0;6 \right)$. gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.
A. $x-2y+2z+8=0$
B. $2x+y-2z-9=0$
C. $2x+2y+z+1=0$
D. $2x-2y+z+9=0$
A. $x-2y+2z+8=0$
B. $2x+y-2z-9=0$
C. $2x+2y+z+1=0$
D. $2x-2y+z+9=0$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;2;2 \right)$ bán kính $R=3$ dễ thấy $MI=NI=3\sqrt{5}$
Gọi $K\left( 5;-2;4 \right)$ là trung điểm MN thì $E{{K}^{2}}=\dfrac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$ (công thức trung tuyến)
Mặt khác $2\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)\ge {{\left( EM+EN \right)}^{2}}\Rightarrow E{{K}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( EM+EN \right)}^{2}}}{4}-\dfrac{M{{N}^{^{2}}}}{4}=\dfrac{{{\left( EM+EN \right)}^{2}}-6}{4}$
Lại có : $EK\le R+KI=3+6=9\Rightarrow 9\ge \dfrac{{{\left( EM+EN \right)}^{2}}-6}{4}\Rightarrow EM+EN\le \sqrt{42}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& EM=EN \\
& E=\left( S \right)\cap KI,E{{K}_{\max }}=9 \\
\end{aligned} \right.$
ta có : $KI:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( 1+2t;2-2t;2+t \right)\in \left( S \right)\Rightarrow 9{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$
Khi đó $E{{K}_{\max }}=9\Leftrightarrow E\left( -1;4;1 \right)\Rightarrow $ phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E qua E và vuông góc với KI có phương trình $2x-2y+z+0=0$.
Gọi $K\left( 5;-2;4 \right)$ là trung điểm MN thì $E{{K}^{2}}=\dfrac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$ (công thức trung tuyến)
Mặt khác $2\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)\ge {{\left( EM+EN \right)}^{2}}\Rightarrow E{{K}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( EM+EN \right)}^{2}}}{4}-\dfrac{M{{N}^{^{2}}}}{4}=\dfrac{{{\left( EM+EN \right)}^{2}}-6}{4}$
Lại có : $EK\le R+KI=3+6=9\Rightarrow 9\ge \dfrac{{{\left( EM+EN \right)}^{2}}-6}{4}\Rightarrow EM+EN\le \sqrt{42}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& EM=EN \\
& E=\left( S \right)\cap KI,E{{K}_{\max }}=9 \\
\end{aligned} \right.$
ta có : $KI:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( 1+2t;2-2t;2+t \right)\in \left( S \right)\Rightarrow 9{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$
Khi đó $E{{K}_{\max }}=9\Leftrightarrow E\left( -1;4;1 \right)\Rightarrow $ phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E qua E và vuông góc với KI có phương trình $2x-2y+z+0=0$.
Đáp án D.