Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$, $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và các điểm $A\left( 4;0;0 \right)$, $B\left( \dfrac{1}{4};0;0 \right)$, $C\left( 1;4;0 \right)$, $D\left( 4;4;0 \right)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $\left( {{S}_{1}} \right)$, $N$ là điểm thay đổi trên $\left( {{S}_{2}} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=MA+2ND+4MN+4BC$ là
A. $3\sqrt{265}$.
B. $4\sqrt{265}$.
C. $2\sqrt{265}$.
D. $\sqrt{265}$.
A. $3\sqrt{265}$.
B. $4\sqrt{265}$.
C. $2\sqrt{265}$.
D. $\sqrt{265}$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$ và ${{R}_{1}}=1$ ; $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $I\left( 0;4;0 \right)$ và ${{R}_{2}}=2$ ;
Ta có bốn điểm $O;A;D;I$ là bốn đỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và $OB=\dfrac{1}{4};IC=1$
Ta có: $\Delta OMA$ $\Delta OBM$ (cgc) $\Leftrightarrow \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{OM}{OB}=4\Rightarrow MA=4MB$
$\Delta IND$ $\Delta ICN$ (cgc) $\Leftrightarrow \dfrac{ND}{CN}=\dfrac{IN}{IC}=2\Rightarrow ND=2NC$
$Q=MA+2ND+4MN+4BC=4MB+4NC+4MN+4BC\ge 4BC+4BC=8BC=2\sqrt{265}$
Ta có bốn điểm $O;A;D;I$ là bốn đỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và $OB=\dfrac{1}{4};IC=1$
Ta có: $\Delta OMA$ $\Delta OBM$ (cgc) $\Leftrightarrow \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{OM}{OB}=4\Rightarrow MA=4MB$
$\Delta IND$ $\Delta ICN$ (cgc) $\Leftrightarrow \dfrac{ND}{CN}=\dfrac{IN}{IC}=2\Rightarrow ND=2NC$
$Q=MA+2ND+4MN+4BC=4MB+4NC+4MN+4BC\ge 4BC+4BC=8BC=2\sqrt{265}$
Đáp án C.