Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=36$ và điểm A(4; 0; 0). Đường thẳng ∆ di động nhưng luôn tiếp xúc với (S1), đồng thời cắt (S2) tại hai điểm B, C. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 72
B. $24\sqrt{5}$
C. 48
D. $28\sqrt{5}$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( -4; 0; 0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=4$ ; mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $I\left( -4; 0; 0 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=6$.
Nhận xét hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ đồng tâm I. Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng ∆ với mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ thì $IM\bot \Delta $. Mà ∆ cắt mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm B, C nên M là trung điểm BC.
Ta có $BC=2BM=2\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{M}^{2}}}=2\sqrt{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}=2\sqrt{{{6}^{2}}-{{4}^{2}}}=4\sqrt{5}$
Do $AI=8>{{R}_{1}}$ nên điểm A nằm bên ngoài mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$. Vị trí điểm M thay đổi trên mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ theo đường thẳng ∆ nên $A{{M}_{\max }}=AI+{{R}_{1}}=8+4=12$ khi A, I, M thẳng hàng hay $AM\bot \Delta $
Do $BC=4\sqrt{5}$ (không đổi) nên ${{\left( {{S}_{\Delta ABC}} \right)}_{\max }}=\dfrac{1}{2}.BC.A{{M}_{\max }}=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{5}.12=24\sqrt{5}$ (đvdt)
A. 72
B. $24\sqrt{5}$
C. 48
D. $28\sqrt{5}$
Nhận xét hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ đồng tâm I. Gọi M là tiếp điểm của đường thẳng ∆ với mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ thì $IM\bot \Delta $. Mà ∆ cắt mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm B, C nên M là trung điểm BC.
Ta có $BC=2BM=2\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{M}^{2}}}=2\sqrt{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}=2\sqrt{{{6}^{2}}-{{4}^{2}}}=4\sqrt{5}$
Do $AI=8>{{R}_{1}}$ nên điểm A nằm bên ngoài mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$. Vị trí điểm M thay đổi trên mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ theo đường thẳng ∆ nên $A{{M}_{\max }}=AI+{{R}_{1}}=8+4=12$ khi A, I, M thẳng hàng hay $AM\bot \Delta $
Do $BC=4\sqrt{5}$ (không đổi) nên ${{\left( {{S}_{\Delta ABC}} \right)}_{\max }}=\dfrac{1}{2}.BC.A{{M}_{\max }}=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{5}.12=24\sqrt{5}$ (đvdt)
Đáp án B.