Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng
$d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z-2}{1}, {d}':\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ và hai điểm $A\left( a;0;0 \right),$
${A}'\left( a;0;0 \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và ${d}'; H$ là giao điểm của
đường thẳng $A{A}'$ và mặt phẳng $\left( P \right).$ Một đường thẳng $\Delta $ thay đổi trên
$\left( P \right)$ nhưng luôn đi qua $H$ đồng thời $\Delta $ cắt $d$ và ${d}'$ lần lượt tại $B, {B}'.$
Hai đường thẳng $AB, {A}'{B}'$ cắt nhau tại điểm $M.$ Biết điểm $M$ luôn
thuộc một đường thẳng cố định có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right)$
(tham khảo hình vẽ). Kết quả của phép tính $T=a+b$ là
A. $T=8.$
B. $T=9.$
C. $T=-9.$
D. $T=6.$
$d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z-2}{1}, {d}':\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ và hai điểm $A\left( a;0;0 \right),$
${A}'\left( a;0;0 \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và ${d}'; H$ là giao điểm của
đường thẳng $A{A}'$ và mặt phẳng $\left( P \right).$ Một đường thẳng $\Delta $ thay đổi trên
$\left( P \right)$ nhưng luôn đi qua $H$ đồng thời $\Delta $ cắt $d$ và ${d}'$ lần lượt tại $B, {B}'.$
Hai đường thẳng $AB, {A}'{B}'$ cắt nhau tại điểm $M.$ Biết điểm $M$ luôn
thuộc một đường thẳng cố định có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right)$
(tham khảo hình vẽ). Kết quả của phép tính $T=a+b$ là
A. $T=8.$
B. $T=9.$
C. $T=-9.$
D. $T=6.$
Nhận xét rằng $A\left( a;0;0 \right)\in Ox$ và ${A}'\left( 0;0;b \right)\in Oz.$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $AB$ và $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng chứa ${d}'$ và ${A}'{B}'.$
Ta có $M$ thuộc đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( a \right)$ và $\left( \beta \right).$
Theo giả thiết, $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right).$
Mặt phẳng $\left( a \right)$ đi qua ${{M}_{1}}\left( 2;5;2 \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;1 \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right)$ $\Rightarrow \left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{u} \right]=\left( 8;16;-40 \right)=8\left( 1;2;-5 \right).$
Phương trình của $\left( a \right)$ là $x+2y-5z-2=0.$
Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua ${{M}_{2}}\left( 2;1;2 \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right)$
$\Rightarrow \left( \beta \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}};\overrightarrow{u} \right]=\left( 12;16;20 \right)=4\left( 3;4;5 \right).$
Phương trình của $\left( \beta \right)$ là $3x+4y+5z-20=0.$ Khi đó $A=\left( \alpha \right)\cap Ox$ nên $A\left( 2;0;0 \right)$ và ${A}'=\left( \beta \right)\cap Oz$ nên ${A}'\left( 0;0;4 \right).$ Vậy $T=a+b=6.$
Ta có $M$ thuộc đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( a \right)$ và $\left( \beta \right).$
Theo giả thiết, $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right).$
Mặt phẳng $\left( a \right)$ đi qua ${{M}_{1}}\left( 2;5;2 \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;1 \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right)$ $\Rightarrow \left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{u} \right]=\left( 8;16;-40 \right)=8\left( 1;2;-5 \right).$
Phương trình của $\left( a \right)$ là $x+2y-5z-2=0.$
Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua ${{M}_{2}}\left( 2;1;2 \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left( 15;-10;-1 \right)$
$\Rightarrow \left( \beta \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}};\overrightarrow{u} \right]=\left( 12;16;20 \right)=4\left( 3;4;5 \right).$
Phương trình của $\left( \beta \right)$ là $3x+4y+5z-20=0.$ Khi đó $A=\left( \alpha \right)\cap Ox$ nên $A\left( 2;0;0 \right)$ và ${A}'=\left( \beta \right)\cap Oz$ nên ${A}'\left( 0;0;4 \right).$ Vậy $T=a+b=6.$
Đáp án D.