Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z}{1}$ ; ${{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0$ và cắt hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $AB$ là ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là:
A. $x+1=y+2=z+2$.
B. $x-1=y-2=z-2$.
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+2}{1}$.
A. $x+1=y+2=z+2$.
B. $x-1=y-2=z-2$.
C. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{1}$.
D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+2}{1}$.
Do $d$ cắt hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ lần lượt tại $A,B$ ta có $A\left( -1+u;-2+2u;u \right), B\left( 2+2v;1+v;1+v \right), u,v\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 3+2v-u; 3+v-2u;1+v-u \right)$
Có $\left( P \right):x+y-2z+5=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{_{_{\left( P \right)}}}}=\left( 1;1;-2 \right)$.
Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0$.
Suy ra $\overrightarrow{AB}.{{\overrightarrow{n}}_{_{_{\left( P \right)}}}}=0\Leftrightarrow 3+2v-u+3+v-2u-2-2v+2u=0\Leftrightarrow u=v+4$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( v-1; -v-5;-3 \right) \\
& \Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( v-1 \right)}^{2}}+ {{\left( -v-5 \right)}^{2}}+9=2{{v}^{2}}+8v+35\ge 27\forall v\in \mathbb{R}; A{{B}^{2}}=27 khi v=-2. \\
\end{aligned}$
Suy ra $AB$ là ngắn nhất bằng $3\sqrt{3}$ khi $v=-2,u=2$.
Như vậy: $\overrightarrow{AB}=\left( -3; -3;-3 \right)$, $A\left( 1;2;2 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $x-1=y-2=z-2$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 3+2v-u; 3+v-2u;1+v-u \right)$
Có $\left( P \right):x+y-2z+5=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{_{_{\left( P \right)}}}}=\left( 1;1;-2 \right)$.
Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z+5=0$.
Suy ra $\overrightarrow{AB}.{{\overrightarrow{n}}_{_{_{\left( P \right)}}}}=0\Leftrightarrow 3+2v-u+3+v-2u-2-2v+2u=0\Leftrightarrow u=v+4$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( v-1; -v-5;-3 \right) \\
& \Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( v-1 \right)}^{2}}+ {{\left( -v-5 \right)}^{2}}+9=2{{v}^{2}}+8v+35\ge 27\forall v\in \mathbb{R}; A{{B}^{2}}=27 khi v=-2. \\
\end{aligned}$
Suy ra $AB$ là ngắn nhất bằng $3\sqrt{3}$ khi $v=-2,u=2$.
Như vậy: $\overrightarrow{AB}=\left( -3; -3;-3 \right)$, $A\left( 1;2;2 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $x-1=y-2=z-2$.
Đáp án B.