Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( -2;-2;1 \right)$, $A\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\Delta $ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.
A. $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-1 \right)$.
B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;7;-1 \right)$.
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;2 \right)$.
D. $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa $\Delta $.
Mặt phẳng (P) qua $M\left( -2;-2;1 \right)$ và có véctơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{P}}={{\overrightarrow{n}}_{d}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên có phương trình: $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và $\Delta $.
Khi đó: $AK\ge AH$ : const nên $A{{K}_{\min }}$ khi $K\equiv H$. Đường thẳng AH đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên AH có phương trình tham số: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$
$H\in AH\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$
$H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0$
$\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)$
Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)$
Note 93: Phương pháp chung
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ có phương trình: $\left( \alpha \right):a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)+c\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$
Mối quan hệ đường vuông góc với đường xiên đối với mặt phẳng.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$ có phương trình tham số:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=at+{{x}_{0}} \\
& y=bt+{{y}_{0}} \\
& z=ct+{{z}_{0}} \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
A. $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-1 \right)$.
B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;7;-1 \right)$.
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;2 \right)$.
D. $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa $\Delta $.
Mặt phẳng (P) qua $M\left( -2;-2;1 \right)$ và có véctơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{P}}={{\overrightarrow{n}}_{d}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên có phương trình: $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và $\Delta $.
Khi đó: $AK\ge AH$ : const nên $A{{K}_{\min }}$ khi $K\equiv H$. Đường thẳng AH đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)$ nên AH có phương trình tham số: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$
$H\in AH\Rightarrow H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$
$H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0$
$\Rightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -3;-2;-1 \right)$
Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HM}=\left( 1;0;2 \right)$
Note 93: Phương pháp chung
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ có phương trình: $\left( \alpha \right):a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)+c\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$
Mối quan hệ đường vuông góc với đường xiên đối với mặt phẳng.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$ có phương trình tham số:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=at+{{x}_{0}} \\
& y=bt+{{y}_{0}} \\
& z=ct+{{z}_{0}} \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Đáp án C.