Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1; 1; 1 \right), B\left( 2; 2; 1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+2z=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ thay đổi qua hai điểm $A, B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ tại $H$. Biết $H$ chạy trên một đường tròn tâm $K$ cố định. Tìm bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ khi $OH$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $\dfrac{9\sqrt{6}}{2}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.
Đường thẳng $AB$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left( 1; 1; 0 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1+t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $K=AB\cap \left( P \right)$ suy ra $K\left( 1+t; 1+t; 1 \right)$.
Do $K\in \left( P \right)\Rightarrow 1+t+1+t+2=0\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow K\left( -1; -1; 1 \right)$.
Ta được $KA=2\sqrt{2}, KB=3\sqrt{2}$.
Do mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai hiểm $A,B$ và $H$ là tiếp điểm của $\left( S \right)$ với $\left( P \right)$ nên $KA.KB=K{{H}^{2}}\Rightarrow KH=2\sqrt{3}$.
Vì $K$ là điểm cố định thuộc $\left( P \right),H\in \left( P \right)$ và $HK=2\sqrt{3}$ không đổi nên điểm $H$ thuộc đường tròn cố định có tâm là điểm $K$, bán kính $r=2\sqrt{3}$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Vì $O\in \left( P \right)$, nên $OH$ đạt giá trị lớn nhất khi $K$ nằm giữa $O$ và $H$.
Ta lại có $OK=\sqrt{3}$, do đó $H={{V}_{\left( O;3 \right)}}\left( K \right)$ suy ra $H\left( -3; -3; 3 \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $\left( P \right)$, khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+t \\
& y=-3+t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$, vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $H$ nên $I\in \Delta \Rightarrow I\left( -3+t; -3+t; 3+2t \right)$.
Theo giả thiết, ta có $IA=IB=IH$, trong đó $IA=\sqrt{{{\left( 4-t \right)}^{2}}+{{\left( 4-t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t \right)}^{2}}}$ ; $IB=\sqrt{{{\left( 5-t \right)}^{2}}+{{\left( 5-t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t \right)}^{2}}}$ ; $IH=\sqrt{6{{t}^{2}}}$ suy ra $t=\dfrac{9}{2}$, hay bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}$.
A. $\dfrac{9\sqrt{6}}{2}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.
& x=1+t \\
& y=1+t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $K=AB\cap \left( P \right)$ suy ra $K\left( 1+t; 1+t; 1 \right)$.
Do $K\in \left( P \right)\Rightarrow 1+t+1+t+2=0\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow K\left( -1; -1; 1 \right)$.
Ta được $KA=2\sqrt{2}, KB=3\sqrt{2}$.
Do mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai hiểm $A,B$ và $H$ là tiếp điểm của $\left( S \right)$ với $\left( P \right)$ nên $KA.KB=K{{H}^{2}}\Rightarrow KH=2\sqrt{3}$.
Vì $K$ là điểm cố định thuộc $\left( P \right),H\in \left( P \right)$ và $HK=2\sqrt{3}$ không đổi nên điểm $H$ thuộc đường tròn cố định có tâm là điểm $K$, bán kính $r=2\sqrt{3}$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Vì $O\in \left( P \right)$, nên $OH$ đạt giá trị lớn nhất khi $K$ nằm giữa $O$ và $H$.
Ta lại có $OK=\sqrt{3}$, do đó $H={{V}_{\left( O;3 \right)}}\left( K \right)$ suy ra $H\left( -3; -3; 3 \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $\left( P \right)$, khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+t \\
& y=-3+t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$, vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $H$ nên $I\in \Delta \Rightarrow I\left( -3+t; -3+t; 3+2t \right)$.
Theo giả thiết, ta có $IA=IB=IH$, trong đó $IA=\sqrt{{{\left( 4-t \right)}^{2}}+{{\left( 4-t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t \right)}^{2}}}$ ; $IB=\sqrt{{{\left( 5-t \right)}^{2}}+{{\left( 5-t \right)}^{2}}+{{\left( 2+2t \right)}^{2}}}$ ; $IH=\sqrt{6{{t}^{2}}}$ suy ra $t=\dfrac{9}{2}$, hay bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}$.
Đáp án A.
