Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(9; -3; 4), B(a; b; c). Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Biết các điểm M, N, P đều nằm trên đoạn thẳng AB sao cho $AM=MN=NP=PB$. Giá trị của $Q=ab+bc+ca$ bằng
A. -17.
B. 17.
C. -9.
D. 12.
A. -17.
B. 17.
C. -9.
D. 12.
Ta có sơ đồ sau:
Ta có công thức: Với điểm I thuộc đoạn AB sao cho $\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{BI}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{A}}-k{{x}_{B}}}{1-k} \\
& {{y}_{1}}=\dfrac{{{y}_{A}}-k{{y}_{B}}}{1-k} \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{{{z}_{A}}-k{{z}_{B}}}{1-k} \\
\end{aligned} \right.$
$\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BM}\Rightarrow {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+\dfrac{1}{3}{{z}_{B}}}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{4+\dfrac{1}{3}c}{\dfrac{4}{3}}$
$M\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow {{z}_{M}}=0\Leftrightarrow c=-12.$
N là trung điểm của AB $\Rightarrow {{y}_{N}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\dfrac{-3+b}{2}$
$N\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow {{y}_{N}}=0\Leftrightarrow b=3.$
$\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{BP}\Rightarrow {{x}_{P}}=\dfrac{{{x}_{A}}+3{{x}_{B}}}{1+3}=\dfrac{9+3a}{4}.$
$P\in \left( Oyz \right)\Leftrightarrow {{x}_{P}}=0\Leftrightarrow a=-3.$ Vậy $Q=ab+bc+ca=-9.$
Ta có công thức: Với điểm I thuộc đoạn AB sao cho $\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{BI}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{A}}-k{{x}_{B}}}{1-k} \\
& {{y}_{1}}=\dfrac{{{y}_{A}}-k{{y}_{B}}}{1-k} \\
& {{z}_{1}}=\dfrac{{{z}_{A}}-k{{z}_{B}}}{1-k} \\
\end{aligned} \right.$
$\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BM}\Rightarrow {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+\dfrac{1}{3}{{z}_{B}}}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{4+\dfrac{1}{3}c}{\dfrac{4}{3}}$
$M\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow {{z}_{M}}=0\Leftrightarrow c=-12.$
N là trung điểm của AB $\Rightarrow {{y}_{N}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\dfrac{-3+b}{2}$
$N\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow {{y}_{N}}=0\Leftrightarrow b=3.$
$\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{BP}\Rightarrow {{x}_{P}}=\dfrac{{{x}_{A}}+3{{x}_{B}}}{1+3}=\dfrac{9+3a}{4}.$
$P\in \left( Oyz \right)\Leftrightarrow {{x}_{P}}=0\Leftrightarrow a=-3.$ Vậy $Q=ab+bc+ca=-9.$
Đáp án C.