Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-2; 2; -2) và B (3; -3; 3). M là điểm trong không gian thỏa mãn $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}$. Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng?
A. $12\sqrt{3}$
B. $6\sqrt{3}$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$
D. $5\sqrt{3}$
A. $12\sqrt{3}$
B. $6\sqrt{3}$
C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$
D. $5\sqrt{3}$
Giả sử $M\left( x; y; z \right)$ ;
Theo đề bài ta có $\overrightarrow{AM}=\left( x+2; y-2; z+2 \right); \overrightarrow{BM}=\left( x-3; y+3; z-3 \right)$.
Mặt khác $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}+60x-60y+60z=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$
Vậy điểm M nằm trên mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$ có tâm $I\left( -6; 6; -6 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{3}$.
Bài toán trở thành: "Tìm điểm M thuộc mặt cầu $\left( S \right){{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$ sao cho OM có độ dài lớn nhất."
Ta thấy $O\in \left( S \right)$. Khi đó $O{{M}_{\max }}\Leftrightarrow $ O, I, M thẳng hàng $\Leftrightarrow OM=2R=12\sqrt{3}$
Theo đề bài ta có $\overrightarrow{AM}=\left( x+2; y-2; z+2 \right); \overrightarrow{BM}=\left( x-3; y+3; z-3 \right)$.
Mặt khác $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 9M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 9\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}} \right]=4\left[ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}+60x-60y+60z=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$
Vậy điểm M nằm trên mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$ có tâm $I\left( -6; 6; -6 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{3}$.
Bài toán trở thành: "Tìm điểm M thuộc mặt cầu $\left( S \right){{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+12x-12y+12z=0$ sao cho OM có độ dài lớn nhất."
Ta thấy $O\in \left( S \right)$. Khi đó $O{{M}_{\max }}\Leftrightarrow $ O, I, M thẳng hàng $\Leftrightarrow OM=2R=12\sqrt{3}$
Đáp án A.