Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{2}$ và mặt cầu $(S):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$. Hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ lần lượt tại các tiếp điểm là $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
B. $3$
C. $\dfrac{7}{3}$
D. $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
B. $3$
C. $\dfrac{7}{3}$
D. $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;1;-1 \right)$, bán kính $R=2$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 2;-1;1 \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm $I$, điểm $M,N$ và cắt $d$ tại $H$.
Khi đó $d(I,d)=IH$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( -1;-2;2 \right)$.
$\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -6;6;3 \right)$
$\Rightarrow d(I,d)=IH=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{3}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$.
$\Rightarrow IH=3,IM=IN=R=2\Rightarrow MH=\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{I{{H}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Gọi $O$ là trung điểm của $MN$. Khi đó:
$MO=\dfrac{MH.IM}{IH}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\Rightarrow MN=2MO=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 2;-1;1 \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm $I$, điểm $M,N$ và cắt $d$ tại $H$.
Khi đó $d(I,d)=IH$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( -1;-2;2 \right)$.
$\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;2 \right)$
$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -6;6;3 \right)$
$\Rightarrow d(I,d)=IH=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{3}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$.
$\Rightarrow IH=3,IM=IN=R=2\Rightarrow MH=\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=\sqrt{I{{H}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Gọi $O$ là trung điểm của $MN$. Khi đó:
$MO=\dfrac{MH.IM}{IH}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\Rightarrow MN=2MO=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$.
Đáp án D.