Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ A\left( 0;4;0 \right) $. Gọi $ M $ là điểm cách đều $ d $ và trục $ {x}'Ox $. Khoảng cách ngắn nhất giữa $ A $ và $ M$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$.
& x=0 \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ A\left( 0;4;0 \right) $. Gọi $ M $ là điểm cách đều $ d $ và trục $ {x}'Ox $. Khoảng cách ngắn nhất giữa $ A $ và $ M$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( 0;0;1 \right)$ và có một VTCP là $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$, ta có $\overrightarrow{NM}=\left( a;b;c-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{j} \right]=\left( 1-c;0;a \right)$
$\Rightarrow d\left( M;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{j} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{j} \right|}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}}$
Lại có $d\left( M,Ox \right)=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
Từ giả thiết ta có $d\left( M,d \right)=d\left( M,Ox \right)\Rightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}+2c-1$
$\Rightarrow AM=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}+2c-1+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{2{{b}^{2}}-8b+{{c}^{2}}+2c+15}$
$=\sqrt{2\left( {{b}^{2}}-4b+4 \right)+\left( {{c}^{2}}+2c+1 \right)+6}=\sqrt{2{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}+6}\ge \sqrt{6}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $b=2,c=-1,a=\pm 1$.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$, ta có $\overrightarrow{NM}=\left( a;b;c-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{j} \right]=\left( 1-c;0;a \right)$
$\Rightarrow d\left( M;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{j} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{j} \right|}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}}$
Lại có $d\left( M,Ox \right)=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
Từ giả thiết ta có $d\left( M,d \right)=d\left( M,Ox \right)\Rightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}+2c-1$
$\Rightarrow AM=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{b}^{2}}+2c-1+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{2{{b}^{2}}-8b+{{c}^{2}}+2c+15}$
$=\sqrt{2\left( {{b}^{2}}-4b+4 \right)+\left( {{c}^{2}}+2c+1 \right)+6}=\sqrt{2{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}+6}\ge \sqrt{6}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $b=2,c=-1,a=\pm 1$.
Đáp án C.