Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$ và mặt phẳng $\left( Q...

Phương pháp giải:
- Xác định $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}$ là 1 VTCP của $\mathrm{\Delta }$ và $\overrightarrow{n_Q}$ là 1 VTPT của $\left(Q\right)$.
- Vì $\{\begin{array}{l}\left(P\right)//\mathrm{\Delta }\\ \left(P\right)\mathrm{\perp }\left(Q\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_P}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\\ \overrightarrow{n_P}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_Q}\end{array}$ $\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}]$.
- Phương trình mặt phẳng đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có 1 VTPT → $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ là
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
Giải chi tiết:
Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=(2;-2;1)$.
Mặt phẳng $\left(Q\right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;2)$.
Gọi $\overrightarrow{n_P}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left(P\right)$. Vì $\{\begin{array}{l}\left(P\right)//\mathrm{\Delta }\\ \left(P\right)\mathrm{\perp }\left(Q\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_P}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\\ \overrightarrow{n_P}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_Q}\end{array}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}]=(3;3;0)$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}(1;1;0)$ cũng là 1 VTPT của $\left(P\right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là $1.(x-0)+1.(y+1)+0.(z-2)=0$ $\iff x+y+1=0$.