Google
Câu hỏi: . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( -3;3;-3 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x--2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100$. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng Δ.
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$
B. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$
C. $\dfrac{x+3}{5}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{8}$
D. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$
B. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$
C. $\dfrac{x+3}{5}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{8}$
D. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;3;5 \right)$, bán kính $R=10$.
Vì $d\left( I,(P) \right)=6<R=10\Rightarrow \left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm E là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( P \right)$ và có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)}=8$.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\left( P \right)$, nên nhận VTPT của $\left( P \right)$ làm VTCP.
Phương trình $\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2m \\
& y=3-2m \\
& z=5+m \\
\end{aligned} \right.,\left( m\in \mathbb{R} \right) $. Khi đó $ \left( d \right)\cap \left( P \right)=E\left( 2+2m;3-2m;5+m \right)$.
Ta có $E\in \left( P \right)\Rightarrow m=-2\Rightarrow E\left( -2;7;3 \right)$.
Vì $ME=\sqrt{53}<8\Rightarrow E$ nằm trong đường tròn $\left( C \right)$. Vậy AB lớn nhất khi AB là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$, khi đó đường thẳng $\Delta $ chính là đường thẳng ME.
Vậy $\Delta $ qua $M\left( -3;3;-3 \right)$, nhận $\overrightarrow{ME}=\left( 1;4;6 \right)$ làm VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right):\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
Vì $d\left( I,(P) \right)=6<R=10\Rightarrow \left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm E là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( P \right)$ và có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)}=8$.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\left( P \right)$, nên nhận VTPT của $\left( P \right)$ làm VTCP.
Phương trình $\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2m \\
& y=3-2m \\
& z=5+m \\
\end{aligned} \right.,\left( m\in \mathbb{R} \right) $. Khi đó $ \left( d \right)\cap \left( P \right)=E\left( 2+2m;3-2m;5+m \right)$.
Ta có $E\in \left( P \right)\Rightarrow m=-2\Rightarrow E\left( -2;7;3 \right)$.
Vì $ME=\sqrt{53}<8\Rightarrow E$ nằm trong đường tròn $\left( C \right)$. Vậy AB lớn nhất khi AB là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$, khi đó đường thẳng $\Delta $ chính là đường thẳng ME.
Vậy $\Delta $ qua $M\left( -3;3;-3 \right)$, nhận $\overrightarrow{ME}=\left( 1;4;6 \right)$ làm VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right):\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
Đáp án D.