. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(2;3;5)$, bán kính $R=10$.
Vì $d(I,(P))=6<R=10\Rightarrow \left(P\right)$ cắt $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left(C\right)$ có tâm E là hình chiếu vuông góc của I lên $\left(P\right)$ và có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}=8$.
Gọi $\left(d\right)$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\left(P\right)$, nên nhận VTPT của $\left(P\right)$ làm VTCP.
Phương trình $\left(d\right):\{\begin{array}{rl}& x=2+2m\\ & y=3-2m\\ & z=5+m\end{array},(m\in \mathbb{R})$. Khi đó $\left(d\right)\cap \left(P\right)=E(2+2m;3-2m;5+m)$.
Ta có $E\in \left(P\right)\Rightarrow m=-2\Rightarrow E(-2;7;3)$.
Vì $ME=\sqrt{53}<8\Rightarrow E$ nằm trong đường tròn $\left(C\right)$. Vậy AB lớn nhất khi AB là đường kính của đường tròn $\left(C\right)$, khi đó đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ chính là đường thẳng ME.
Vậy $\mathrm{\Delta }$ qua $M(-3;3;-3)$, nhận $\overrightarrow{ME}=(1;4;6)$ làm VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng $\left(\mathrm{\Delta }\right):{\displaystyle \frac{x+3}{1}}={\displaystyle \frac{y-3}{4}}={\displaystyle \frac{z+3}{6}}$.