Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $H\left( 2;-1;-2 \right)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ xuống mặt phẳng $\left( P \right),$ số đo góc giữa mặt $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x-y-11=0$ bằng bao nhiêu?
A. $30{}^\circ .$
B. $45{}^\circ .$
C. $60{}^\circ .$
D. $90{}^\circ .$
A. $30{}^\circ .$
B. $45{}^\circ .$
C. $60{}^\circ .$
D. $90{}^\circ .$
Ta có $H\left( 2;-1;-2 \right)$ là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt $\left( P \right)$ nên $OH\bot \left( P \right).$
Do đó mặt $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;-2 \right).$
Và mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 1;-1;0 \right).$
$\cos \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right) \right|=\dfrac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1-1.\left( -1 \right)-2.0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+1+0}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=45{}^\circ .$
Do đó mặt $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;-2 \right).$
Và mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 1;-1;0 \right).$
$\cos \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right) \right|=\dfrac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1-1.\left( -1 \right)-2.0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+1+0}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=45{}^\circ .$
Đáp án B.