Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(...

Phương pháp:
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì VTPT của $2$ mặt phẳng đó cũng vuông góc với nhau.
Sử dụng các dữ kiện bài toán, lập hệ phương trình, tìm các ẩn $a,b,c,d$.
Cách giải:
Theo giả thiết ta có :
$\begin{aligned}
& (P):x-y-z+1=0\Rightarrow VTPT:{{\overrightarrow{n}}_{1}}=(1;-1;-1) \\
& (Q):ax+by+cz+d=0\Rightarrow VTPT:\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(a;b;c) \\
& (P)\bot (Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{2}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow a-b-c=0 (1) \\
\end{aligned}$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( 3;-2;-2 \right)$ nên $3a-2b-2c+d=0 \left( 2 \right)$
Mặt phẳng $\left( Q \right):$ $ax+by+cz+d=0$ cắt tia Oy tại $M\left( 0;\dfrac{-d}{b};0 \right)$, cắt tia $Oz$ tại điểm $N\left( 0,0;\dfrac{-d}{c} \right)$
Do OM = ON nên $\left| \dfrac{-d}{b} \right|=\left| -\dfrac{d}{c} \right|\Leftrightarrow |b|=|c|(d\ne 0)$
TH1: $b=-c$, từ (1) và (2) ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=b+c \\
3a+d=2b+2c \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=0 \\
3a+d=0 \\
\end{array}\Leftrightarrow a=d=0 \right. \right.$ (Loại).
TH2: $b=c$, từ (1) và (2) ta có:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=b+c \\
3a+d=2b+2c \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=2b \\
3a+d=4b \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=2b \\
d=-2b \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{d}{a}=-1 \right. \right. \right.$.
Vậy $\dfrac{d}{a}=-1$.