Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( -3;3;-3 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=100$. Đường thẳng $\Delta $ qua $A$, nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại $M,N$. Để độ dài $MN$ lớn nhất thì phương trình đường thẳng $\Delta $ là
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
B. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+5t \\
& y=3 \\
& z=-3+8t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;3;5 \right)$, bán kính $R=10$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
$\Rightarrow IK\bot \left( \alpha \right)$ nên phương trình đường thẳng $IK$ đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ điểm $K$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
& 2x-2x+z+15=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( -2;7;3 \right)$
Vì $\Delta \subset \left( \alpha \right)$ nên $H\in \left( \alpha \right)$ và $IH\ge IK$. Do đó $IH$ nhỏ nhất khi $H$ trùng với $K$
Để $MN$ lớn nhất thì $IH$ phải nhỏ nhất. Khi đó, đường thẳng $\Delta $ cần tìm đi qua $A$ và $K$. Đường thẳng $\Delta $ có phương trình là: $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
B. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-3+5t \\
& y=3 \\
& z=-3+8t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;3;5 \right)$, bán kính $R=10$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
$\Rightarrow IK\bot \left( \alpha \right)$ nên phương trình đường thẳng $IK$ đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ điểm $K$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
& 2x-2x+z+15=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( -2;7;3 \right)$
Vì $\Delta \subset \left( \alpha \right)$ nên $H\in \left( \alpha \right)$ và $IH\ge IK$. Do đó $IH$ nhỏ nhất khi $H$ trùng với $K$
Để $MN$ lớn nhất thì $IH$ phải nhỏ nhất. Khi đó, đường thẳng $\Delta $ cần tìm đi qua $A$ và $K$. Đường thẳng $\Delta $ có phương trình là: $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
Đáp án A.