Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, Cho điểm $A\left( 2;1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0$, $m$ là tham số thực Gọi $H\left( a;b;C \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $\left( P \right)$. Khi khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất, tính $a+b$.
A. $2$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $0$.
A. $2$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $0$.
Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+m+3\left( 2m+1 \right)-m-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}$.
Vì $1+{{m}^{2}}\ge \dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}$, $\forall m\in \mathbb{R}$ nên $d\left( A,\left( P \right) \right)\le \dfrac{3\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
Suy ra, khoảng Cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất khi và Chỉ khi $m=2$.
Khi đó: $\left( P \right):x+2y+5z-4=0$ ; $AH:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2+t \\
y=1+2t \\
z=3+5t \\
\end{array} \right.$.
$H=d\Cap \left( P \right)$ $\Rightarrow $ $2+t+2\left( 1+2t \right)+5\left( 3+5t \right)-4=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow $ $H\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy $a=\dfrac{3}{2}$, $b=0$ $\Rightarrow $ $a+b=\dfrac{3}{2}$.
Vì $1+{{m}^{2}}\ge \dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}$, $\forall m\in \mathbb{R}$ nên $d\left( A,\left( P \right) \right)\le \dfrac{3\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
Suy ra, khoảng Cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất khi và Chỉ khi $m=2$.
Khi đó: $\left( P \right):x+2y+5z-4=0$ ; $AH:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2+t \\
y=1+2t \\
z=3+5t \\
\end{array} \right.$.
$H=d\Cap \left( P \right)$ $\Rightarrow $ $2+t+2\left( 1+2t \right)+5\left( 3+5t \right)-4=0$ $\Leftrightarrow $ $t=-\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow $ $H\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy $a=\dfrac{3}{2}$, $b=0$ $\Rightarrow $ $a+b=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.