Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 2;1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0$, m là tham số thực. Gọi $H\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên $\left( P \right)$. Khi khoảng cách từ điểm A đến $\left( P \right)$ lớn nhất, tính a + b.
A. 2.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. 0.
A. 2.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. 0.
Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+m+3\left( 2m+1 \right)-m-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{3\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}$
Vì $1+{{m}^{2}}\ge \dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}},\forall m\in \mathbb{R}$ nên $d\left( A,\left( P \right) \right)\le \dfrac{3\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
Suy ra, khoảng cách từ điểm A đến $\left( P \right)$ là lớn nhất khi và chỉ khi m = 2.
Khi đó: $\left( P \right):x+2y+5z-4=0$ ; $AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=3+5t \\
\end{aligned} \right.$
$H=d\cap \left( P \right)\Rightarrow 2+t+2\left( 1+2t \right)+5\left( 3+5t \right)-4=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow H\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy $a=\dfrac{3}{2},b=0\Rightarrow a+b=\dfrac{3}{2}$.
Vì $1+{{m}^{2}}\ge \dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}},\forall m\in \mathbb{R}$ nên $d\left( A,\left( P \right) \right)\le \dfrac{3\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{5}{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.
Suy ra, khoảng cách từ điểm A đến $\left( P \right)$ là lớn nhất khi và chỉ khi m = 2.
Khi đó: $\left( P \right):x+2y+5z-4=0$ ; $AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+2t \\
& z=3+5t \\
\end{aligned} \right.$
$H=d\cap \left( P \right)\Rightarrow 2+t+2\left( 1+2t \right)+5\left( 3+5t \right)-4=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow H\left( \dfrac{3}{2};0;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy $a=\dfrac{3}{2},b=0\Rightarrow a+b=\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.