Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16$ và $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z \right)}^{2}}={{m}^{2}}$ với m là số nguyên dương. Có bao nhiêu số nguyên dương $m\le 10$ sao cho $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn?
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm O(0;0;0) và bán kính ${{R}_{1}}=4$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm I(4;3;0) và bán kính ${{R}_{2}}=m$.
Ta có: $OI=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$.
Để $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn thì:
$OI-{{R}_{1}}<{{R}_{2}}<OI+{{R}_{1}}\Leftrightarrow 5-4<{{R}_{2}}<5+4\Leftrightarrow 1<{{R}_{2}}<9\Leftrightarrow 1<m<9.$
Vậy có 7 số nguyên $m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$ thoả mãn.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm I(4;3;0) và bán kính ${{R}_{2}}=m$.
Ta có: $OI=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$.
Để $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn thì:
$OI-{{R}_{1}}<{{R}_{2}}<OI+{{R}_{1}}\Leftrightarrow 5-4<{{R}_{2}}<5+4\Leftrightarrow 1<{{R}_{2}}<9\Leftrightarrow 1<m<9.$
Vậy có 7 số nguyên $m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$ thoả mãn.
Đáp án D.