Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left(...

The Knowledge · 17/2/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

, trong đó

a > 0, b > 0, c > 0

và

\frac{3}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 5.

Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình là

{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{304}{25},

khi đó thể tích của khối tứ diện OABC nằm trong khoảng nào?
A.

(0; \frac{1}{2}) .

B.

(0; 1) .

C.

(1; 3) .

D.

(4; 5) .

HD: Phương trình mătphẳng (ABC) là:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Ta có:

\frac{3}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5 a} + \frac{1}{5 b} + \frac{3}{5 c} = 1;

; mặt cầu (S) tâm

I (3; 1; 3)

Xét điểm

M (\frac{3}{5}; \frac{1}{5}; \frac{3}{5}) \in (A B C),

mặt khác

M (\frac{3}{5}; \frac{1}{5}; \frac{3}{5}) \in (S)

Do đó điểm

M (\frac{3}{5}; \frac{1}{5}; \frac{3}{5})

là tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (ABC)
Ta có:

\vec{n_{A B C}} = \vec{M I} (\frac{12}{5}; \frac{4}{5}; \frac{12}{5}) = \frac{4}{3} (3; 1; 3) \Rightarrow (A B C) : 3 (x - \frac{3}{5}) + (y - \frac{1}{5}) + 3 (z - \frac{3}{5}) = 0

Hay

3 x + y + 3 z - \frac{19}{5} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\frac{19}{15}} + \frac{y}{\frac{19}{5}} + \frac{z}{\frac{19}{15}} = 1 \Rightarrow a = c = \frac{19}{15}; b = \frac{19}{5}

Vậy

V_{O A B C} = \frac{1}{6} a b c \approx 1, 016.

Đáp án C.