Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$, trong đó $a>0,b>0,c>0$ và $\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=5.$ Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình là ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{304}{25},$ khi đó thể tích của khối tứ diện OABC nằm trong khoảng nào?
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
B. $\left( 0;1 \right).$
C. $\left( 1;3 \right).$
D. $\left( 4;5 \right).$
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).$
B. $\left( 0;1 \right).$
C. $\left( 1;3 \right).$
D. $\left( 4;5 \right).$
HD: Phương trình mătphẳng (ABC) là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Ta có: $\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=5\Leftrightarrow \dfrac{3}{5a}+\dfrac{1}{5b}+\dfrac{3}{5c}=1;$ ; mặt cầu (S) tâm $I\left( 3;1;3 \right)$
Xét điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( ABC \right),$ mặt khác $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( S \right)$
Do đó điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)$ là tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (ABC)
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{ABC}}}=\overrightarrow{MI}\left( \dfrac{12}{5};\dfrac{4}{5};\dfrac{12}{5} \right)=\dfrac{4}{3}\left( 3;1;3 \right)\Rightarrow \left( ABC \right):3\left( x-\dfrac{3}{5} \right)+\left( y-\dfrac{1}{5} \right)+3\left( z-\dfrac{3}{5} \right)=0$
Hay $3x+y+3z-\dfrac{19}{5}=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{\dfrac{19}{15}}+\dfrac{y}{\dfrac{19}{5}}+\dfrac{z}{\dfrac{19}{15}}=1\Rightarrow a=c=\dfrac{19}{15};b=\dfrac{19}{5}$
Vậy ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}abc\approx 1,016.$
Ta có: $\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=5\Leftrightarrow \dfrac{3}{5a}+\dfrac{1}{5b}+\dfrac{3}{5c}=1;$ ; mặt cầu (S) tâm $I\left( 3;1;3 \right)$
Xét điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( ABC \right),$ mặt khác $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)\in \left( S \right)$
Do đó điểm $M\left( \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5} \right)$ là tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (ABC)
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{ABC}}}=\overrightarrow{MI}\left( \dfrac{12}{5};\dfrac{4}{5};\dfrac{12}{5} \right)=\dfrac{4}{3}\left( 3;1;3 \right)\Rightarrow \left( ABC \right):3\left( x-\dfrac{3}{5} \right)+\left( y-\dfrac{1}{5} \right)+3\left( z-\dfrac{3}{5} \right)=0$
Hay $3x+y+3z-\dfrac{19}{5}=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{\dfrac{19}{15}}+\dfrac{y}{\dfrac{19}{5}}+\dfrac{z}{\dfrac{19}{15}}=1\Rightarrow a=c=\dfrac{19}{15};b=\dfrac{19}{5}$
Vậy ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}abc\approx 1,016.$
Đáp án C.