Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+5=0$ ; $\left( Q \right):x+y+z+1=0$ và $\left( R \right):x+y+z+2=0$. Ứng với mỗi cặp điểm $A$, $B$ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ thì mặt cầu đường kính $AB$ luôn cắt mặt phẳng $\left( R \right)$ theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
C. $1$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
C. $1$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Dễ thấy ba mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$, $\left( R \right)$ song song với nhau và mặt phẳng $\left( R \right)$ nằm giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right):x+y+z+D=0$ là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$.
Ta có $\dfrac{\left| D-5 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\left| D-1 \right|}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow D=3\Rightarrow \left( \alpha \right):x+y+z+3=0$.
Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( R \right)$, $\left( \alpha \right)$ là $d=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Khi đó mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$ luôn thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$.
Mặt cầu tâm $I$ luôn cắt mặt phẳng $\left( R \right)$ theo một đường tròn có bán kính là $r=\sqrt{{{\dfrac{AB}{4}}^{2}}-{{d}^{2}}}$.
Để ${{r}_{\min }}$ thì $A{{B}_{\min }}=d\left[ \left( P \right),\left( Q \right) \right]=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$. Vậy $r=\sqrt{{{\dfrac{AB}{4}}^{2}}-{{d}^{2}}}=1$.
Gọi $\left( \alpha \right):x+y+z+D=0$ là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$.
Ta có $\dfrac{\left| D-5 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\left| D-1 \right|}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow D=3\Rightarrow \left( \alpha \right):x+y+z+3=0$.
Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( R \right)$, $\left( \alpha \right)$ là $d=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Khi đó mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$ luôn thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$.
Mặt cầu tâm $I$ luôn cắt mặt phẳng $\left( R \right)$ theo một đường tròn có bán kính là $r=\sqrt{{{\dfrac{AB}{4}}^{2}}-{{d}^{2}}}$.
Để ${{r}_{\min }}$ thì $A{{B}_{\min }}=d\left[ \left( P \right),\left( Q \right) \right]=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$. Vậy $r=\sqrt{{{\dfrac{AB}{4}}^{2}}-{{d}^{2}}}=1$.
Đáp án C.