Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+z-1=0$ ; $\left( Q \right):x-2y+z+8=0;\left( R \right):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ lần lượt tại ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{A{{C}^{2}}}$.
A. 24
B. 36
C. 72
D. 144
A. 24
B. 36
C. 72
D. 144
Dễ dàng nhận thấy $\left( P \right)\text{ // }\left( Q \right)\text{ // }\left( R \right)$.
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại H và cắt $\left( Q \right)$ tại K.
Ta có $BH=d\left( (Q);(P) \right)=9;HK=d\left( (Q);(R) \right)=3$
Khi đó ta có: $T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{A{{C}^{2}}}\ge 2\sqrt{A{{B}^{2}}.\dfrac{144}{A{{C}^{2}}}}=24\dfrac{AB}{AC}=24\dfrac{BH}{HK}=24\dfrac{9}{3}=72$
Vậy ${{T}_{\min }}=72$.
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại H và cắt $\left( Q \right)$ tại K.
Ta có $BH=d\left( (Q);(P) \right)=9;HK=d\left( (Q);(R) \right)=3$
Khi đó ta có: $T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{A{{C}^{2}}}\ge 2\sqrt{A{{B}^{2}}.\dfrac{144}{A{{C}^{2}}}}=24\dfrac{AB}{AC}=24\dfrac{BH}{HK}=24\dfrac{9}{3}=72$
Vậy ${{T}_{\min }}=72$.
Đáp án C.