Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)$. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ là mặt cầu có bán kính là:
A. $R=2.$
B. $R=\sqrt{3}.$
C. $R=3.$
D. $R=\sqrt{2}.$
A. $R=2.$
B. $R=\sqrt{3}.$
C. $R=3.$
D. $R=\sqrt{2}.$
Giả sử $M\left( x;y;z \right)$.
Ta có $M{{A}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}};\ M{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}};\ M{{C}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}.$
Từ $\begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow -2x+1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4y-6z+13\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+12=0. \\
\end{aligned}$
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ là mặt cầu có tâm $I\left( -1;2;3 \right)$, bán kính là $R=\sqrt{2}.$
Ta có $M{{A}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}};\ M{{B}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}};\ M{{C}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}.$
Từ $\begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow -2x+1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4y-6z+13\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+12=0. \\
\end{aligned}$
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ là mặt cầu có tâm $I\left( -1;2;3 \right)$, bán kính là $R=\sqrt{2}.$
Đáp án D.