Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( -1;3;5 \right),$ $B\left( 2;6;-1 \right);$ $C\left( -4;-12;5 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-2z-5=0.$ Gọi điểm M là điểm di động trên $\left( P \right).$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ là
A. 42.
B. 14.
C. $14\sqrt{3}.$
D. $\dfrac{14}{\sqrt{3}}.$
A. 42.
B. 14.
C. $14\sqrt{3}.$
D. $\dfrac{14}{\sqrt{3}}.$
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra $G\left( -1;-1;3 \right).$
Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}+\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)=3\overrightarrow{MG}$ (do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ )
$\Rightarrow S=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=3\left| \overrightarrow{MG} \right|=3MG.$
S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu của G trên mặt phẳng $\left( P \right)$
$\Rightarrow MG=d\left( G;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1+2.\left( -1 \right)-2.3-5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{14}{3}\Rightarrow {{S}_{\min }}=14.$
Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}+\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)=3\overrightarrow{MG}$ (do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ )
$\Rightarrow S=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=3\left| \overrightarrow{MG} \right|=3MG.$
S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ M là hình chiếu của G trên mặt phẳng $\left( P \right)$
$\Rightarrow MG=d\left( G;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1+2.\left( -1 \right)-2.3-5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{14}{3}\Rightarrow {{S}_{\min }}=14.$
Đáp án B.