Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 1;2;5...

Phương pháp:
- Tìm tọa độ điểm $G:G$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\
{{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\
{{z}_{G}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \\
\end{array} \right.$
- Đoạn thẳng $GM$ có độ dài ngắn nhất khi $M$ là hình chiếu của $G$ lên mặt phẳng $\left( Oxz \right).$
- Hình chiếu của điểm $M\left( a;b;c \right)$ lên $\left( Oxz \right)$ là $M'\left( a;0;c \right)$.
Cách giải:Vì $~G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\dfrac{1+3+2}{3}=2 \\
{{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\dfrac{2+4+3}{3}=3\Rightarrow G(2;3;1) \\
{{z}_{G}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3}=\dfrac{5+1-3}{3}=1 \\
\end{array} \right.$

Do $M$ là điểm nằm trên $mp(Oxz)$ và $MG$ ngắn nhất nên $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên
$\left( Oxz \right).$
Do đó, $M(2;0;1)\Rightarrow \overrightarrow{MG}(0;3;0)\Rightarrow MG=\sqrt{{{0}^{2}}+{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}=3$
Vậy $MG$ có độ dài ngắn nhất bằng $3$.