Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $3$ đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ có phương trình $\left( {{d}_{1}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2{{t}_{1}} \\
& y=1+{{t}_{1}} \\
& z=1-2{{t}_{1}} \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( {{d}_{2}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=3+{{t}_{2}} \\
& y=-1+2{{t}_{2}} \\
& z=2+2{{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( {{d}_{3}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2{{t}_{3}} \\
& y=4-2{{t}_{3}} \\
& z=1+{{t}_{3}} \\
\end{aligned} \right. $. $ S\left( I;R \right) $ là mặt cầu tâm $ I $ bán kính $ R $ tiếp xúc với $ 3 $ đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của $ R$ gần số nào nhất trong các số sau:
A. 2,1.
B. 2,2.
C. 2,3.
D. 2,4.
$\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua điểm $B\left( 3; -1; 2 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1; 2; 2 \right)$.
$\left( {{d}_{3}} \right)$ đi qua điểm $C\left( 4; 4; 1 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 2; -2; 1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$, $\overrightarrow{{{u}_{2}}}.\overrightarrow{{{u}_{3}}}=0$, $\overrightarrow{{{u}_{3}}}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0$ $\Rightarrow \left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ đôi một vuông góc với nhau.
$\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{AB}\ne 0$, $\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right].\overrightarrow{BC}\ne 0$, $\left[ \overrightarrow{{{u}_{3}}}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right].\overrightarrow{CA}\ne 0$ $\Rightarrow \left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ đôi một chéo nhau.
Lại có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2; -2; 1 \right)$ ; $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{{{u}_{1}}}=0$ và $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$ nên $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ chứa $3$ cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.
Vì mặt cầu tâm $I\left( a; b; c \right)$ tiếp xúc với $3$ đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ nên bán kính
$R=d\left( I, {{d}_{1}} \right)=d\left( I, {{d}_{2}} \right)=d\left( I, {{d}_{3}} \right)$ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{d}^{2}}\left( I, {{d}_{1}} \right)={{d}^{2}}\left( I, {{d}_{2}} \right)={{d}^{2}}\left( I, {{d}_{3}} \right)$
$\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{\left( \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|} \right)}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|} \right)}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right|} \right)}^{2}}$, ta thấy ${{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right|}^{2}}=9$ và
$\overrightarrow{AI}=\left( a-1; b-1; c-1 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( -2b-c+3; 2a+2c-4; a-2b+1 \right)$.
$\overrightarrow{BI}=\left( a-3; b+1; c-2 \right)$, $\left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2b-2c+6; -2a+c+4; 2a-b-7 \right)$.
$\overrightarrow{CI}=\left( a-4; b-4; c-1 \right)$, $\left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right]=\left( b+2c-6; -a+2c+2;-2 a-2b+16 \right)$.
$9{{R}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] \right|}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right] \right|}^{2}}$ $\Rightarrow 27{{R}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] \right|}^{2}}+{{\left| \left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}^{2}}+{{\left| \left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right] \right|}^{2}}=$
$=18\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-126a-54b-54c+423$ $=18{{\left( a-\dfrac{7}{2} \right)}^{2}}+18{{\left( b-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+18{{\left( c-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{243}{2}\ge \dfrac{243}{2}$ $\Rightarrow {{R}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ khi đó $R\approx 2,12$.
& x=1+2{{t}_{1}} \\
& y=1+{{t}_{1}} \\
& z=1-2{{t}_{1}} \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( {{d}_{2}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=3+{{t}_{2}} \\
& y=-1+2{{t}_{2}} \\
& z=2+2{{t}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $, $ \left( {{d}_{3}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2{{t}_{3}} \\
& y=4-2{{t}_{3}} \\
& z=1+{{t}_{3}} \\
\end{aligned} \right. $. $ S\left( I;R \right) $ là mặt cầu tâm $ I $ bán kính $ R $ tiếp xúc với $ 3 $ đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của $ R$ gần số nào nhất trong các số sau:
A. 2,1.
B. 2,2.
C. 2,3.
D. 2,4.
Ta có: $\left( {{d}_{1}} \right)$ đi qua điểm $A\left( 1; 1; 1 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2; 1; -2 \right)$.$\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua điểm $B\left( 3; -1; 2 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1; 2; 2 \right)$.
$\left( {{d}_{3}} \right)$ đi qua điểm $C\left( 4; 4; 1 \right)$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 2; -2; 1 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$, $\overrightarrow{{{u}_{2}}}.\overrightarrow{{{u}_{3}}}=0$, $\overrightarrow{{{u}_{3}}}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0$ $\Rightarrow \left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ đôi một vuông góc với nhau.
$\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{AB}\ne 0$, $\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right].\overrightarrow{BC}\ne 0$, $\left[ \overrightarrow{{{u}_{3}}}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right].\overrightarrow{CA}\ne 0$ $\Rightarrow \left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ đôi một chéo nhau.
Lại có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2; -2; 1 \right)$ ; $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{{{u}_{1}}}=0$ và $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{{{u}_{2}}}=0$ nên $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ chứa $3$ cạnh của hình hộp chữ nhật như hình vẽ.
$R=d\left( I, {{d}_{1}} \right)=d\left( I, {{d}_{2}} \right)=d\left( I, {{d}_{3}} \right)$ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{d}^{2}}\left( I, {{d}_{1}} \right)={{d}^{2}}\left( I, {{d}_{2}} \right)={{d}^{2}}\left( I, {{d}_{3}} \right)$
$\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{\left( \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|} \right)}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|} \right)}^{2}}$ $={{\left( \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right|} \right)}^{2}}$, ta thấy ${{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right|}^{2}}=9$ và
$\overrightarrow{AI}=\left( a-1; b-1; c-1 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( -2b-c+3; 2a+2c-4; a-2b+1 \right)$.
$\overrightarrow{BI}=\left( a-3; b+1; c-2 \right)$, $\left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2b-2c+6; -2a+c+4; 2a-b-7 \right)$.
$\overrightarrow{CI}=\left( a-4; b-4; c-1 \right)$, $\left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right]=\left( b+2c-6; -a+2c+2;-2 a-2b+16 \right)$.
$9{{R}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] \right|}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right] \right|}^{2}}$ $\Rightarrow 27{{R}^{2}}={{\left| \left[ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] \right|}^{2}}+{{\left| \left[ \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}^{2}}+{{\left| \left[ \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{{{u}_{3}}} \right] \right|}^{2}}=$
$=18\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-126a-54b-54c+423$ $=18{{\left( a-\dfrac{7}{2} \right)}^{2}}+18{{\left( b-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+18{{\left( c-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{243}{2}\ge \dfrac{243}{2}$ $\Rightarrow {{R}_{\min }}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ khi đó $R\approx 2,12$.
Đáp án A.