Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A(1 ; 1 ; 1)...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm

A (1; 1; 1), B (0; 1; 2), C (- 2; 1; 4)

và mặt phẳng

(P) : x - y + z + 2 = 0

. Tìm điểm

N \in (P)

sao cho

S = 2 N A^{2} + N B^{2} + N C^{2}

đạt giá trị nhỏ nhất.
A.

N (- \frac{4}{3}; 2; \frac{4}{3})

.
B.

N (- 2; 0; 1)

.
C.

N (- \frac{1}{2}; \frac{5}{4}; \frac{3}{4})

.
D.

N (- 1; 2; 1)

.

Với mọi điểm

I

ta có:

S = 2 (\vec{N I} + \vec{I A})^{2} + (\vec{N I} + \vec{I B})^{2} + (\vec{N I} + \vec{I C})^{2}

= 4 N I^{2} + 2 \vec{N I} (2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C}) + 2 I A^{2} + I B^{2} + I C^{2}

Chọn điểm

I

sao cho:

2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}

2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow 4 \vec{I A} + \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{0}

.
Suy ra tọa độ điểm

I

là

I (0; 1; 2)

.
Khi đó

S = 4 N I^{2} + 2 I A^{2} + I B^{2} + I C^{2},

do đó

S

nhỏ nhất khi

N

là hình chiếu của

I

lên mặt phẳng

(P)

.
Phương trình đường thẳng đi qua

I

và vuông góc với mặt phẳng

(P)

là:

{\begin{cases} x = 0 + t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + t \end{cases}

.
Tọa độ điểm

N (t; 1 - t; 2 + t) \in (P) \Rightarrow t - 1 + t + 2 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow N (- 1; 2; 1)

.
Chú ý: Tìm tọa độ điểm

I

thỏa mãn:

a_{1} \vec{I A_{1}} + a_{2} . \vec{I A_{2}} + \dots + a_{n} . \vec{I A_{n}} = \vec{0}

I (\frac{a_{1} . x_{A_{1}} + \dots + a_{n} . x_{A_{n}}}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}; \frac{a_{1} . y_{A_{1}} + \dots + a_{n} . y_{A_{n}}}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}; \frac{a_{1} . z_{A_{1}} + \dots + a_{n} . z_{A_{n}}}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}})

(

I

gọi là tâm tỉ cự)

Đáp án D.