Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm $A(1 ; 1 ; 1), B(0 ; 1 ; 2), C(-2 ; 1 ; 4)$ và mặt phẳng $(P): x-y+z+2=0$. Tìm điểm $N \in(P)$ sao cho $S=2 N A^{2}+N B^{2}+N C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $N\left(-\dfrac{4}{3} ; 2 ; \dfrac{4}{3}\right)$.
B. $N(-2 ; 0 ; 1)$.
C. $N\left(-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{4}\right)$.
D. $N(-1 ; 2 ; 1)$.
A. $N\left(-\dfrac{4}{3} ; 2 ; \dfrac{4}{3}\right)$.
B. $N(-2 ; 0 ; 1)$.
C. $N\left(-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{4}\right)$.
D. $N(-1 ; 2 ; 1)$.
Với mọi điểm $I$ ta có: $S=2(\overrightarrow{N I}+\overrightarrow{I A})^{2}+(\overrightarrow{N I}+\overrightarrow{I B})^{2}+(\overrightarrow{N I}+\overrightarrow{I C})^{2}$
$=4 N I^{2}+2 \overrightarrow{N I}(2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C})+2 I A^{2}+I B^{2}+I C^{2}$
Chọn điểm $I$ sao cho: $2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$
$2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra tọa độ điểm $I$ là $I(0 ; 1 ; 2)$.
Khi đó $S=4 N I^{2}+2 I A^{2}+I B^{2}+I C^{2},$ do đó $S$ nhỏ nhất khi $N$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(P)$.
Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=0+t \\ y=1-t \\ z=2+t\end{array}\right.$.
Tọa độ điểm $N(t ; 1-t ; 2+t) \in(P) \Rightarrow t-1+t+2+t+2=0 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow N(-1 ; 2 ; 1)$.
Chú ý: Tìm tọa độ điểm $I$ thỏa mãn: ${{a}_{1}}\overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{a}_{2}}.\overrightarrow{I{{A}_{2}}}+\ldots +{{a}_{n}}.\overrightarrow{I{{A}_{n}}}=\vec{0}$
$I\left( \dfrac{{{a}_{1}}.{{x}_{{{A}_{1}}}}+\ldots +{{a}_{n}}.{{x}_{{{A}_{n}}}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}};\dfrac{{{a}_{1}}.{{y}_{{{A}_{1}}}}+\ldots +{{a}_{n}}.{{y}_{{{A}_{n}}}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}};\dfrac{{{a}_{1}}.{{z}_{{{A}_{1}}}}+\ldots +{{a}_{n}}.{{z}_{{{A}_{n}}}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}} \right)$
( $I$ gọi là tâm tỉ cự)
$=4 N I^{2}+2 \overrightarrow{N I}(2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C})+2 I A^{2}+I B^{2}+I C^{2}$
Chọn điểm $I$ sao cho: $2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$
$2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra tọa độ điểm $I$ là $I(0 ; 1 ; 2)$.
Khi đó $S=4 N I^{2}+2 I A^{2}+I B^{2}+I C^{2},$ do đó $S$ nhỏ nhất khi $N$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(P)$.
Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=0+t \\ y=1-t \\ z=2+t\end{array}\right.$.
Tọa độ điểm $N(t ; 1-t ; 2+t) \in(P) \Rightarrow t-1+t+2+t+2=0 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow N(-1 ; 2 ; 1)$.
Chú ý: Tìm tọa độ điểm $I$ thỏa mãn: ${{a}_{1}}\overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{a}_{2}}.\overrightarrow{I{{A}_{2}}}+\ldots +{{a}_{n}}.\overrightarrow{I{{A}_{n}}}=\vec{0}$
$I\left( \dfrac{{{a}_{1}}.{{x}_{{{A}_{1}}}}+\ldots +{{a}_{n}}.{{x}_{{{A}_{n}}}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}};\dfrac{{{a}_{1}}.{{y}_{{{A}_{1}}}}+\ldots +{{a}_{n}}.{{y}_{{{A}_{n}}}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}};\dfrac{{{a}_{1}}.{{z}_{{{A}_{1}}}}+\ldots +{{a}_{n}}.{{z}_{{{A}_{n}}}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}} \right)$
( $I$ gọi là tâm tỉ cự)
Đáp án D.