Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxy cho mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a-b}+\dfrac{y}{b-c}+\dfrac{z}{c-a}=0$ trong đó a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Biết rằng mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn tạo với đường thẳng $\left( \Delta \right)$ cố định một góc không đổi. $\left( \Delta \right)$ khi đó đi qua điểm $A\left( 2;m;n \right)$. Tính giá trị của $m+n.$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Ta để ý $\left( P \right)$ luôn đi qua điểm $O\left( 0;0;0 \right)$ cố định. Do đó ta giả sử $I\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)$ cố định sao cho $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{a-b}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b-c}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c-a} \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}}$ không đổi thì góc giữa IO và $\left( P \right)$ là một góc không đổi.
Mặt khác $\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}$
$=\sqrt{{{\left( \dfrac{a-c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)} \right)}^{2}}+2\dfrac{a-c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}.\dfrac{1}{c-a}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}=\left| \dfrac{a-c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}+\dfrac{1}{c-a} \right|=\left| \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a} \right|$.
Vậy $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{a-b}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b-c}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c-a} \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}}=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{a-b}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b-c}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c-a} \right|}{\left| \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a} \right|}$ không đổi khi ${{x}_{0}}={{y}_{0}}={{z}_{0}}$.
Đặt ${{x}_{0}}={{y}_{0}}={{z}_{0}}=1$ ta có $I\left( 1;1;1 \right)$ và góc giữa OI và $\left( P \right)$ không đổi. Khi đó $\left( \Delta \right)$ qua $A\left( 2;2;2 \right)$.
Mặt khác $\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}$
$=\sqrt{{{\left( \dfrac{a-c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)} \right)}^{2}}+2\dfrac{a-c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}.\dfrac{1}{c-a}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}=\left| \dfrac{a-c}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)}+\dfrac{1}{c-a} \right|=\left| \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a} \right|$.
Vậy $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{a-b}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b-c}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c-a} \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-a \right)}^{2}}}}}=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{a-b}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b-c}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c-a} \right|}{\left| \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a} \right|}$ không đổi khi ${{x}_{0}}={{y}_{0}}={{z}_{0}}$.
Đặt ${{x}_{0}}={{y}_{0}}={{z}_{0}}=1$ ta có $I\left( 1;1;1 \right)$ và góc giữa OI và $\left( P \right)$ không đổi. Khi đó $\left( \Delta \right)$ qua $A\left( 2;2;2 \right)$.
Đáp án C.