Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxy,$ cho điểm $A\left( 1;0;6...

Gọi điểm $M\left( a;0;0 \right),N\left( b;0;0 \right) \left( a\ne b \right)$ thì trung điểm $I$ của $MN$ là $I\left( \dfrac{a+b}{2};0;0 \right).$ Do $\Delta AMN$ có $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}={{45}^{o}}$ nên $\Delta AMN$ cân tại $A.$
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( \dfrac{a+b-2}{2};0;-6 \right)\Rightarrow \dfrac{a+b-2}{2}.1=0\Leftrightarrow a+b=2.$
CáCh kháC: $\overrightarrow{AM}=\left( a-1;0;-6 \right), \overrightarrow{AN}=\left( b-1;0;-6 \right)$
Gọi $\alpha , \beta $ lần lượt là góc giữa 2 đường thẳng $AM,AN$ với $M.$
$\cos \alpha =cos\beta ={{45}^{o}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-1 \right|}{\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+36}}=\dfrac{\left| b-1 \right|}{\sqrt{{{\left( b-1 \right)}^{2}}+36}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 36={{\left( a-1 \right)}^{2}} \\
& 36={{\left( b-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=7 \\
& a=-5 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left[ \begin{aligned}
& b=7 \\
& b=-5 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M\left( 7;0;0 \right),N\left( -5;0;0 \right)$ hay $M\left( -5;0;0 \right),N\left( 7;0;0 \right).$ Tổng các hoành độ của $M,N$ là 2.