Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 16;4;9 \right)$ đồng thời chắn các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $4OA+OB+OC$ có giá trị là nhỏ nhất. Khi đó thể tích của tứ diện OABC bằng
A. 5184.
B. 3456.
C. 4394.
D. 4032.
A. 5184.
B. 3456.
C. 4394.
D. 4032.
Giả sử $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$, với $a,b,c>0$ thì $OA=a,OB=b,OC=c.$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Điểm $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{16}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}=1.$
Lại có $1=\dfrac{16}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}=\dfrac{{{8}^{2}}}{4a}+\dfrac{{{2}^{2}}}{b}+\dfrac{{{3}^{2}}}{c}\overset{Schwarz}{\mathop{\ge }} \dfrac{{{\left( 8+2+3 \right)}^{2}}}{4a+b+c}=\dfrac{169}{4a+b+c}\left( * \right)$
$\Rightarrow 4OA+OB+OC=4a+b+c\ge 169$. Suy ra $\min \left( 4OA+OB+OC \right)=169.$
Dấu "=" xảy ra khi$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{8}{4a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c} \\
& 4a+b+c=169 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=26 \\
& b=26 \\
& c=39 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy thể tích tứ diện OABC là $V=\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc=4394.$
Lưu ý: bất đẳng thức (*) là một hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với ba cặp số $\left( {{a}_{i}},{{b}_{i}} \right)$ mà ${{b}_{i}}>0\left( i=1,2,3 \right)$ luôn có $\dfrac{a_{1}^{2}}{{{b}_{1}}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{b}_{2}}}+\dfrac{a_{3}^{2}}{{{b}_{3}}}\ge \dfrac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)}^{2}}}{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_{1}^{{}}}{{{b}_{1}}}=\dfrac{a_{2}^{{}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{a_{3}^{{}}}{{{b}_{3}}}.$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Điểm $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{16}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}=1.$
Lại có $1=\dfrac{16}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}=\dfrac{{{8}^{2}}}{4a}+\dfrac{{{2}^{2}}}{b}+\dfrac{{{3}^{2}}}{c}\overset{Schwarz}{\mathop{\ge }} \dfrac{{{\left( 8+2+3 \right)}^{2}}}{4a+b+c}=\dfrac{169}{4a+b+c}\left( * \right)$
$\Rightarrow 4OA+OB+OC=4a+b+c\ge 169$. Suy ra $\min \left( 4OA+OB+OC \right)=169.$
Dấu "=" xảy ra khi$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{8}{4a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c} \\
& 4a+b+c=169 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=26 \\
& b=26 \\
& c=39 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy thể tích tứ diện OABC là $V=\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc=4394.$
Lưu ý: bất đẳng thức (*) là một hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với ba cặp số $\left( {{a}_{i}},{{b}_{i}} \right)$ mà ${{b}_{i}}>0\left( i=1,2,3 \right)$ luôn có $\dfrac{a_{1}^{2}}{{{b}_{1}}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{b}_{2}}}+\dfrac{a_{3}^{2}}{{{b}_{3}}}\ge \dfrac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)}^{2}}}{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_{1}^{{}}}{{{b}_{1}}}=\dfrac{a_{2}^{{}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{a_{3}^{{}}}{{{b}_{3}}}.$
Đáp án C.