Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $M\left( 2;-1;3 \right)$ có phương trình dạng
A. $3x-z=0.$
B. $x+2y+z-3=0.$
C. $3y+z=0.$
D. $-y+3z=0.$
A. $3x-z=0.$
B. $x+2y+z-3=0.$
C. $3y+z=0.$
D. $-y+3z=0.$
C1: Gọi $\left( \alpha \right):ax+by+cz+d=0.$ Do $\left( \alpha \right)$ chứa trục $Ox$ nên $a=0,d=0.$
Khi đó: $\left( \alpha \right):by+cz=0.$ Mà $\left( \alpha \right)$ qua điểm $M\left( 2;-1;3 \right)$ nên $-b+3c=0\Rightarrow b=3;c=1.$
Vậy $\left( \alpha \right):3y+z=0.$
Cách 2: Véctơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$
Véctơ $\overrightarrow{OM}=\left( 2;-1;3 \right)$
Khi đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i},\overrightarrow{OM} \right]=\left( 0;-3;-1 \right)=-\left( 0;3;1 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $0.\left( x-0 \right)+3.\left( y-0 \right)+1.\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 3y+z=0.$
Khi đó: $\left( \alpha \right):by+cz=0.$ Mà $\left( \alpha \right)$ qua điểm $M\left( 2;-1;3 \right)$ nên $-b+3c=0\Rightarrow b=3;c=1.$
Vậy $\left( \alpha \right):3y+z=0.$
Cách 2: Véctơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$
Véctơ $\overrightarrow{OM}=\left( 2;-1;3 \right)$
Khi đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i},\overrightarrow{OM} \right]=\left( 0;-3;-1 \right)=-\left( 0;3;1 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $0.\left( x-0 \right)+3.\left( y-0 \right)+1.\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 3y+z=0.$
Đáp án C.