Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z+4}{-5}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-4}{-1}$ có phương trình.
A. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$.
B. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$.
D. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$.
A. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$.
B. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$.
D. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Giả sử $AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ với $A\in {{d}_{1}}$ và $B\in {{d}_{2}}$
Ta có $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 2+2a;3+3a;-4-5a \right)$ và $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( -1+3b;4-2b;4-b \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -3+3b-2a;1-2b-3a;8-b+5a \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;3;-5 \right)$ ; ${{d}_{2}}$ có một VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-2;-1 \right)$.
Vì $AB$ là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot {{d}_{1}} \\
& AB\bot {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( -3+3b-2a \right)+3\left( 1-2b-3a \right)-5\left( 8-b+5a \right)=0 \\
& 3\left( -3+3b-2a \right)-2\left( 1-2b-3a \right)-1\left( 8-b+5a \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -38a+5b=43 \\
& -5a+14b=19 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ A\left( 0;0;1 \right) $ và $ \overrightarrow{AB}=\left( 2;2;2 \right) $ là một VTCP của $ AB $, suy ra $ AB $ cũng có một VTCP $ \overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;1 \right)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Ta có $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 2+2a;3+3a;-4-5a \right)$ và $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( -1+3b;4-2b;4-b \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -3+3b-2a;1-2b-3a;8-b+5a \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có một VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;3;-5 \right)$ ; ${{d}_{2}}$ có một VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-2;-1 \right)$.
Vì $AB$ là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot {{d}_{1}} \\
& AB\bot {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( -3+3b-2a \right)+3\left( 1-2b-3a \right)-5\left( 8-b+5a \right)=0 \\
& 3\left( -3+3b-2a \right)-2\left( 1-2b-3a \right)-1\left( 8-b+5a \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -38a+5b=43 \\
& -5a+14b=19 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ A\left( 0;0;1 \right) $ và $ \overrightarrow{AB}=\left( 2;2;2 \right) $ là một VTCP của $ AB $, suy ra $ AB $ cũng có một VTCP $ \overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;1 \right)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Đáp án B.