Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$. Hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng $\Delta $. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta $ ?
A. $N\left( -1;3;-1 \right)$.
B. $N\left( 1;3;-1 \right)$.
C. $N\left( 2;5;-4 \right)$.
D. $N\left( 2;7;-6 \right)$.
A. $N\left( -1;3;-1 \right)$.
B. $N\left( 1;3;-1 \right)$.
C. $N\left( 2;5;-4 \right)$.
D. $N\left( 2;7;-6 \right)$.
Gọi $A=d\cap \left( P \right)$ với $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( t;-1+2t;2-t \right)$.
Mà $A\in \left( P \right)\Rightarrow t-1+2t+2-t-3=0\Leftrightarrow t=1$, nên $A\left( 1;1;1 \right)$.
Lấy $B\left( 0;-1;2 \right)\in d$, gọi $m$ là đường thẳng qua $B\left( 0;-1;2 \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Thì $m:\left\{ \begin{aligned}
& x=s \\
& y=-1+s \\
& z=2+s \\
\end{aligned} \right. $, gọi $ C $ là hình chiếu của $ B $ lên $ \left( P \right)$.
Nên $C\in m\Rightarrow C\left( s;-1+s;2+s \right)$.
Mặt khác $C\in \left( P \right)\Rightarrow s-1+s+2+s-3=0\Leftrightarrow s=\dfrac{2}{3}\Rightarrow C\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{-1}{3};\dfrac{8}{3} \right)$.
Hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left( \dfrac{-1}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{3} \right)=\dfrac{-1}{3}\left( 1;4;-5 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Nên đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+l \\
& y=1+4l \\
& z=1-5l \\
\end{aligned} \right. $. Vậy điểm thuộc đường thẳng $ \Delta $ là $ N\left( 2;5;-4 \right)$.
& x=t \\
& y=-1+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( t;-1+2t;2-t \right)$.
Mà $A\in \left( P \right)\Rightarrow t-1+2t+2-t-3=0\Leftrightarrow t=1$, nên $A\left( 1;1;1 \right)$.
Lấy $B\left( 0;-1;2 \right)\in d$, gọi $m$ là đường thẳng qua $B\left( 0;-1;2 \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Thì $m:\left\{ \begin{aligned}
& x=s \\
& y=-1+s \\
& z=2+s \\
\end{aligned} \right. $, gọi $ C $ là hình chiếu của $ B $ lên $ \left( P \right)$.
Nên $C\in m\Rightarrow C\left( s;-1+s;2+s \right)$.
Mặt khác $C\in \left( P \right)\Rightarrow s-1+s+2+s-3=0\Leftrightarrow s=\dfrac{2}{3}\Rightarrow C\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{-1}{3};\dfrac{8}{3} \right)$.
Hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left( \dfrac{-1}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{3} \right)=\dfrac{-1}{3}\left( 1;4;-5 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Nên đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+l \\
& y=1+4l \\
& z=1-5l \\
\end{aligned} \right. $. Vậy điểm thuộc đường thẳng $ \Delta $ là $ N\left( 2;5;-4 \right)$.
Đáp án C.