Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm $A\left( -1;2;3 \right),B\left( 6;-5;8 \right)$ và $\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{k}$ với a, b là các số thực luôn thay đổi. Nếu $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $a-b$ bằng
A. -25.
B. -13.
C. 0.
D. 26.
Ta có $\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{k}\Rightarrow M\left( a;0;b \right).$
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}=\left( -1-a;2;3-b \right) \\
& \overrightarrow{MB}=\left( 6-a;-5;8-b \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\left( a-13;12;b-13 \right). \\
& {{\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|}^{2}}={{\left( a-13 \right)}^{2}}+{{12}^{2}}+{{\left( b-13 \right)}^{2}}\ge {{12}^{2}}. \\
\end{aligned}$
Suy ra $\min \left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|=12,$ xảy ra khi $a=b=13.$
Ghi chú: Nhận xét rằng điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) nên ta có thể xét điểm I sao cho $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxz). Khi đó $I\left( 13;-12;-13 \right),H\left( 13;0;13 \right)$ và $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|=MI\ge HI.$
Suy ra $\min \left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|=IH=12,$ xảy ra khi $M\equiv H$ nên $a=b=13.$
A. -25.
B. -13.
C. 0.
D. 26.
Ta có $\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{k}\Rightarrow M\left( a;0;b \right).$
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}=\left( -1-a;2;3-b \right) \\
& \overrightarrow{MB}=\left( 6-a;-5;8-b \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}=\left( a-13;12;b-13 \right). \\
& {{\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|}^{2}}={{\left( a-13 \right)}^{2}}+{{12}^{2}}+{{\left( b-13 \right)}^{2}}\ge {{12}^{2}}. \\
\end{aligned}$
Suy ra $\min \left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|=12,$ xảy ra khi $a=b=13.$
Ghi chú: Nhận xét rằng điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) nên ta có thể xét điểm I sao cho $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxz). Khi đó $I\left( 13;-12;-13 \right),H\left( 13;0;13 \right)$ và $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|=MI\ge HI.$
Suy ra $\min \left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|=IH=12,$ xảy ra khi $M\equiv H$ nên $a=b=13.$
Đáp án C.