Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm $A\left( -1;2;3...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm

A (- 1; 2; 3), B (6; - 5; 8)

và

\vec{O M} = a \vec{i} + b \vec{k}

với a, b là các số thực luôn thay đổi. Nếu

| \vec{M A} - 2 \vec{M B} |

đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của

a - b

bằng
A. -25.
B. -13.
C. 0.
D. 26.

Ta có

\vec{O M} = a \vec{i} + b \vec{k} \Rightarrow M (a; 0; b) .

\begin{aligned} {\begin{aligned} \vec{M A} = (- 1 - a; 2; 3 - b) \\ \vec{M B} = (6 - a; - 5; 8 - b) \end{aligned} \Rightarrow \vec{M A} - 2 \vec{M B} = (a - 13; 12; b - 13) . \\ {| \vec{M A} - 2 \vec{M B} |}^{2} = {(a - 13)}^{2} + 12^{2} + {(b - 13)}^{2} \geq 12^{2} . \end{aligned}

Suy ra

min | \vec{M A} - 2 \vec{M B} | = 12,

xảy ra khi

a = b = 13.

Ghi chú: Nhận xét rằng điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) nên ta có thể xét điểm I sao cho

\vec{I A} - 2 \vec{I B} = \vec{0}

và gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxz). Khi đó

I (13; - 12; - 13), H (13; 0; 13)

và

| \vec{M A} - 2 \vec{M B} | = | \vec{M I} | = M I \geq H I .

Suy ra

min | \vec{M A} - 2 \vec{M B} | = I H = 12,

xảy ra khi

M \equiv H

nên

a = b = 13.

Đáp án C.