Trong không gian với hệ trục $O x y z$, cho bốn điểm $A(1 ; 1 ...

Cách 1:
$
\begin{aligned}
& \text { Vì } M \in(O x y) \text { nên } M(a ; b ; 0) \text {. } \\
& \begin{array}{l}
\overline{A M}=(a-1 ; b-1 ; 0) \Rightarrow A M^2=(a-1)^2+(b-1)^2 \\
\overline{B M}=(a-2 ; b+1 ;-1) \Rightarrow B M^2=(a-2)^2+(b+1)^2+1 \\
\dfrac{C M}{D M}=(a-1 ; b+1 ;-2) \Rightarrow C M^2=(a-1)^2+(b+1)^2+4 \\
\Rightarrow T=(a-3 ; b-5 ; 6) \Rightarrow A M^2=(a-3)^2+(b-5)^2+36 \\
+\left[(a-3)^2+(b-5)^2+36\right]^2+4(a-2)^2+4(b+1)^2+4-8(a-1)^2-8(b+1)^2-32 \\
\Rightarrow T=2 a^2-12 a+2 b^2-2 a b-12+\left[(a-3)^2+(b-5)^2+36\right]^2 \\
=2(a-3)^2+2(b-5)^2-80+\left[(a-3)^2+(b-5)^2+36\right]^2 \\
T_{\min } \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=3 \\
b=5
\end{array} \Rightarrow M(3 ; 5 ; 0)\right.
\end{array}
\end{aligned}
$
Cách 2:
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $6 \overrightarrow{I A}+4 \overline{I B}-8 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$ suy ra $I(3 ; 5 ;-6)$
Khi đó: $6 . M A^2+4 . M B^2-8 . M C^2=2 . M I^2+6 . I A^2+4 . I B^2-8 . I C^2$
Gọi $H(3 ; 5 ; 0)$ là hình chiếu của $I$ trên $(O x y)$
Khi đó: $6 . M A^2+4 . M B^2-8 . M C^2 \geq 2 . H I^2+6 . I A^2+4 . I B^2-8 . I C^2$
Mà $H(3 ; 5 ; 0)$ cũng là hình chiếu của $D$ trên $(O x y)$ nên của $M D^4 \geq H D^4$
Suy ra $T=6 . M A^2+4 . M B^2-8 . M C^2+M D^4 \geq 2 . H I^2+6 . I A^2+4 . I B^2-8 . I C^2+H D^4$
Suy ra $T$ dạt GTNN $\Leftrightarrow M \equiv H$.
Suy ra $a+b+c=3+5+0=8$.