Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-2 \right),\overrightarrow{v}=\left( 1;0;m \right).$ Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng $45{}^\circ .$
A. m = 2.
B. $m=2\pm \sqrt{6}.$
C. $m=2-\sqrt{6}.$
D. $m=2+\sqrt{6}.$
A. m = 2.
B. $m=2\pm \sqrt{6}.$
C. $m=2-\sqrt{6}.$
D. $m=2+\sqrt{6}.$
Ta có $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=45{}^\circ \Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1-2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1+{{m}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3\left( {{m}^{2}}+1 \right)}=1-2m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2m\ge 0 \\
& 3{{m}^{2}}+3=1-4m+4{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{1}{2} \\
& {{m}^{2}}-4m-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2-\sqrt{6}.$
$\Leftrightarrow \sqrt{3\left( {{m}^{2}}+1 \right)}=1-2m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-2m\ge 0 \\
& 3{{m}^{2}}+3=1-4m+4{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{1}{2} \\
& {{m}^{2}}-4m-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=2-\sqrt{6}.$
Đáp án C.