Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;1 \right)$, $B\left( 2;-1;3 \right)$. $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}$ lớn nhất. Tính $P=a+b+c$
A. $P=-1$
B. $P=7$
C. $P=5$
D. $P=2$
Ta có $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MA} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MB} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB} \right)$
Ta tìm $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ hay $B$ là trung điểm $IA\Rightarrow I\left( 3;-4;5 \right)$
Khi đó ta có $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}=-M{{I}^{2}}+\underbrace{I{{B}^{2}}+I{{A}^{2}}}_{const}$. Do đó ${{\left( M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}_{\min }$
Bài toán trở thành tìm $M$ thuộc $\left( Oxy \right)$ để $MI$ nhỏ nhất.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( Oxy \right)$ ta có $MI\ge IH$
Suy ra $M{{I}_{\min }}=IH\Rightarrow M\equiv H$ $\Rightarrow M\left( 3;-4;0 \right)$ $\Rightarrow a=3,b=-4,c=0\Rightarrow P=a+b+c=-1$
A. $P=-1$
B. $P=7$
C. $P=5$
D. $P=2$
Ta có $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MA} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MB} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB} \right)$
Ta tìm $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ hay $B$ là trung điểm $IA\Rightarrow I\left( 3;-4;5 \right)$
Khi đó ta có $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}=-M{{I}^{2}}+\underbrace{I{{B}^{2}}+I{{A}^{2}}}_{const}$. Do đó ${{\left( M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}_{\min }$
Bài toán trở thành tìm $M$ thuộc $\left( Oxy \right)$ để $MI$ nhỏ nhất.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( Oxy \right)$ ta có $MI\ge IH$
Suy ra $M{{I}_{\min }}=IH\Rightarrow M\equiv H$ $\Rightarrow M\left( 3;-4;0 \right)$ $\Rightarrow a=3,b=-4,c=0\Rightarrow P=a+b+c=-1$
Đáp án A.