Trong không gian với hệ toạ độ $Ox y z$ , cho các điểm...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ

Ox y z

, cho các điểm

S (0; 0; 1)

,

P (1; 1; 1)

và

M (m; 0; 0), N (0; n; 0)

thay đổi sao cho

m + n = 1

và

m > 0, n > 0

. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua

P

và tiếp xúc với mặt phẳng

(S M N)

. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A.

\sqrt{2}

.
B.

2

.
C.

1

.
D.

\sqrt{3}

.

Phương trình

(S M N)

:

\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} = 1

\Leftrightarrow n x + m y + m m z - m n = 0

.
Do

m + n = 1

nên suy ra

n x + (1 - n) y + n (1 - n) z - n (1 - n) = 0

Gọi

I (a; b; c)

và

R

lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu

(S)

cố định đi qua

P

và tiếp xúc với mặt phẳng

(S M N)

.
Khi đó, ta có

I P = \sqrt{{(1 - a)}^{2} + {(1 - b)}^{2} + {(1 - c)}^{2}} = R^{2}

(*)

và

d (I; (S M N)) = R \Leftrightarrow \frac{| n a + (1 - n) b + n c (1 - n) - n (1 - n) |}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + n^{2} m^{2}}} = R

.

\Leftrightarrow \frac{| n a + (1 - n) b + n c (1 - n) - n (1 - n) |}{1 - (1 - n) n} = R

\Leftrightarrow | (1 - c) n^{2} + (a - b + c - 1) n + b | = R (1 - n + n^{2})

\Leftrightarrow [\begin{aligned} (1 - c) n^{2} + (a - b + c - 1) n + b = R (1 - n + n^{2}) (1) \\ (1 - c) n^{2} + (a - b + c - 1) n + b = R (- 1 + n - n^{2}) (2) \end{aligned}

(1) \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 - c = R \\ a - b + c - 1 = - R \\ b = R \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} c = 1 - R \\ b = R \\ a = R \end{aligned}

.
Khi đó

(*) \Leftrightarrow \sqrt{2 {(1 - R)}^{2} + R^{2}} = R^{2}

\Leftrightarrow R = 1

(2) làm tương tự.
Vậy

R = 1

Đáp án C.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm...