Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{O}xyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0,$ $(Q):x+my+(m-1)z+2019=0$. Khi hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $M$ nào sau đây?
A. $M(2019;-1;1)$
B. $M(0;-2019;0)$
C. $M(-2019;1;1)$
D. $M(0;0;-2019)$
A. $M(2019;-1;1)$
B. $M(0;-2019;0)$
C. $M(-2019;1;1)$
D. $M(0;0;-2019)$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Khi đó:
$\cos \varphi =\dfrac{\left| 1.1+2.m-2.(m-1) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\dfrac{1}{3\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}$
$=\dfrac{1}{3.\sqrt{2{{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}}}\le \dfrac{1}{3\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$
Góc $\varphi $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $\cos \varphi $ lớn nhất $\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$.
Khi $m=\dfrac{1}{2}$ thì $\left( Q \right):x+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{2}z+2019=0$, đi qua điểm $M(-2019;1;1)$.
Khi đó:
$\cos \varphi =\dfrac{\left| 1.1+2.m-2.(m-1) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\dfrac{1}{3\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}$
$=\dfrac{1}{3.\sqrt{2{{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}}}\le \dfrac{1}{3\sqrt{\dfrac{3}{2}}}$
Góc $\varphi $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $\cos \varphi $ lớn nhất $\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$.
Khi $m=\dfrac{1}{2}$ thì $\left( Q \right):x+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{2}z+2019=0$, đi qua điểm $M(-2019;1;1)$.
Đáp án C.