Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxzy, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. Điểm M nằm trên (S) có tọa độ dương, mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left( 1+O{{A}^{2}} \right)\left( 1+O{{B}^{2}} \right)\left( 1+O{{C}^{2}} \right)$ là
A. 24
B. 27
C. 64
D. 8
A. 24
B. 27
C. 64
D. 8
Giả sử $A\left( a; 0; 0 \right), B\left( 0; b; 0 \right), C\left( 0; 0; c \right) \left( a>0, b>0, c>0 \right)$ (do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz)
Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\Leftrightarrow bcx+acy+abz-abc=0$
Mặt cầu (S) có tâm $O\left( 0; 0; 0 \right)$ và bán kính $R=1$
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( O; \left( P \right) \right)=R$
Hay $d\left( O; \left( ABC \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{abc}{\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}$ (1)
Ta có $T=\left( 1+O{{A}^{2}} \right)\left( 1+O{{B}^{2}} \right)\left( 1+O{{C}^{2}} \right)=\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)$
$T=1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$
$\ge 1+3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+3\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{4}}{{c}^{4}}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( 1+\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)}^{3}}$
Mặt khác từ (1) suy ra
${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{4}}{{c}^{4}}}\Leftrightarrow {{a}^{6}}{{b}^{6}}{{c}^{6}}\ge 27{{a}^{4}}{{b}^{4}}{{c}^{4}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 27$
Suy ra $T\ge {{\left( 1+\sqrt[3]{27} \right)}^{3}}=64$
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 64 khi $\left\{ \begin{aligned}
& a=b=c>0 \\
& {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}=27 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\Leftrightarrow bcx+acy+abz-abc=0$
Mặt cầu (S) có tâm $O\left( 0; 0; 0 \right)$ và bán kính $R=1$
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( O; \left( P \right) \right)=R$
Hay $d\left( O; \left( ABC \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{abc}{\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}$ (1)
Ta có $T=\left( 1+O{{A}^{2}} \right)\left( 1+O{{B}^{2}} \right)\left( 1+O{{C}^{2}} \right)=\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)$
$T=1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$
$\ge 1+3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+3\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{4}}{{c}^{4}}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( 1+\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)}^{3}}$
Mặt khác từ (1) suy ra
${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{4}}{{c}^{4}}}\Leftrightarrow {{a}^{6}}{{b}^{6}}{{c}^{6}}\ge 27{{a}^{4}}{{b}^{4}}{{c}^{4}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 27$
Suy ra $T\ge {{\left( 1+\sqrt[3]{27} \right)}^{3}}=64$
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 64 khi $\left\{ \begin{aligned}
& a=b=c>0 \\
& {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}=27 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Đáp án C.