Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho 3 điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;3;1 \right),C\left( -3;6;4 \right)$. Gọi Mlà điểm nằm trên cạnh BCsao cho diện tích tam giác ACMgấp hai lần diện tích tam giác ABM. Tính độ dài đoạn AM.
A. $AM=\sqrt{29}$
B. $AM=2\sqrt{7}$
C. $AM=\sqrt{30~}~~~~~~~$
D. $AM=3\sqrt{3}$
A. $AM=\sqrt{29}$
B. $AM=2\sqrt{7}$
C. $AM=\sqrt{30~}~~~~~~~$
D. $AM=3\sqrt{3}$
Phương pháp:
- Viết phương trình đường thẳng BC, tham số hóa tọa độ điểm Mthuộc BC.
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|$
Cách giải:
Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left( -~3;3;3 \right).~$
Phương trình đường thẳng BCđi qua Bvà nhận ${{\overrightarrow{u}}_{_{BC}}}=\left( -~1;1;1 \right) $ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=-t \\
& y=3+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R}).$
Lấy $M\left( -m;3+m;1+m \right)$ thuộc BC.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=(-2;3;1) \\
& \overrightarrow{AM}=(- m-2;3+m;1+m) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AM} \right]=(2m;m;m).$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{m}^{2}}+{{m}^{2}}+{{m}^{2}}}=\dfrac{\left| m \right|\sqrt{6}}{2}$
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AC}=(-5;6;4) \\
& \overrightarrow{AM}=(-m-2;3+m;1+m) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AM} \right]=(2m-6;m-3;m-3).$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2m-6 \right)}^{2}}+{{\left( m-3 \right)}^{2}}+{{\left( m-3 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left| m-3 \right|\sqrt{6}}{2}$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{\Delta ACM}}=2{{S}_{\Delta ABM}}.~$
$~\Rightarrow \dfrac{\left| m-3 \right|\sqrt{6}}{2}~=2.\dfrac{\left| m \right|\sqrt{6}}{2}$ ⇔ $\left| m-3 \right|~=2\left| m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3=2m \\
& m-3=-2m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right..$
Với $m=-3\Rightarrow M\left( 3;0;-2 \right)\Rightarrow AM=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}.~$
Với $m=1\Rightarrow M\left( -1;4;2 \right)\Rightarrow AM=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{29}.~$
- Viết phương trình đường thẳng BC, tham số hóa tọa độ điểm Mthuộc BC.
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|$
Cách giải:
Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left( -~3;3;3 \right).~$
Phương trình đường thẳng BCđi qua Bvà nhận ${{\overrightarrow{u}}_{_{BC}}}=\left( -~1;1;1 \right) $ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=-t \\
& y=3+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R}).$
Lấy $M\left( -m;3+m;1+m \right)$ thuộc BC.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=(-2;3;1) \\
& \overrightarrow{AM}=(- m-2;3+m;1+m) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AM} \right]=(2m;m;m).$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{m}^{2}}+{{m}^{2}}+{{m}^{2}}}=\dfrac{\left| m \right|\sqrt{6}}{2}$
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AC}=(-5;6;4) \\
& \overrightarrow{AM}=(-m-2;3+m;1+m) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AM} \right]=(2m-6;m-3;m-3).$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2m-6 \right)}^{2}}+{{\left( m-3 \right)}^{2}}+{{\left( m-3 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left| m-3 \right|\sqrt{6}}{2}$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{\Delta ACM}}=2{{S}_{\Delta ABM}}.~$
$~\Rightarrow \dfrac{\left| m-3 \right|\sqrt{6}}{2}~=2.\dfrac{\left| m \right|\sqrt{6}}{2}$ ⇔ $\left| m-3 \right|~=2\left| m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3=2m \\
& m-3=-2m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right..$
Với $m=-3\Rightarrow M\left( 3;0;-2 \right)\Rightarrow AM=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}.~$
Với $m=1\Rightarrow M\left( -1;4;2 \right)\Rightarrow AM=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{29}.~$
Đáp án A.